Fungsi Floor Bersama Fungsi Ceiling

Misal $x$ adalah bilangan real, pastinya $x$ berada diantara dua bilangan bulat (integer). Fungsi floor lalu ceiling memetakan bilangan real tersebut terhadap bilangan bulat terdekat. Biar lebih jelas mari kita bahas satu persatu.

Definisi Fungsi Floor (Floor Function) lalu Fungsi Ceiling (Ceiling Function)

Fungsi Floor dari $x$ ditulis $\lfloor x \rfloor$, menyatakan bilangan bulat terbesar yg kurang dari ataupun sama dengan $x$.

Fungsi Ceiling dari $x$ ditulis $\lceil x \rceil$, menyatakan bilangan bulat terkecil yg lebih dari ataupun sama dengan $x$.

Misal $x$ lalu $y$ adalah bilangan real, $k$, $m$ lalu $n$ adalah bilangan bulat, lalu $\mathbb{Z}$ adalah himpunan bilangan bulat. Fungsi Floor lalu Ceiling becus didefinisikan sebagai berikut:

$\left \lfloor x \right \rfloor=max\left \{ m\in\mathbb{Z}\: |\: m\leq x \right \}$

$\left \lceil x \right \rceil=min\left \{ n\in\mathbb{Z}\: |\: n\geq x \right \}$

dimana:

$x-1 < m\leq x \leq n < n+1$

Masih belum faham?

Oke sederhanyanya gini deh, Fungsi floor membulatkan bilangan real $x$ ke bawah, lalu fungsi ceiling membulatkan bilangan real $x$ ke atas. untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:

$\lfloor 25,3 \rfloor = 25$

$\lceil 25,3 \rceil = 26$

$\lfloor -3,2 \rfloor = -4$

$\lceil -3,2 \rceil = -3$

fungsi floor lalu ceiling ini sangat penting untuk dipelajari, penerapannya dalam matematika cukup banyak. Contohnya, dengan materi yg pernah dibahas oleh m4th-lab mengenai cara menentukan banyaknya nol berurutan dari bialngan faktorial. dengan materi tersebut kita perlu memahami fungsi floor. Atau bagi kalian para "petarung olimpiade", sangat penting juga memahami fungsi ini. berikut ini dua contoh soal olimpiade matematika yg memerlukan pemahaman fungsi floor lalu ceiling:

Contoh 1

OSK SMP 2020

Misalkan $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yg lebih besar daripada ataupun sama dengan $x$. Jika 

$$x=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\cdot+\frac{1}{1010}}$$

maka $\lceil x \rceil =$ ....

A. 35

B. 36

C. 37

D. 38

Pembahasan:

Nilai minimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align*}x&=\frac{2}{\frac{1}{1001}+\frac{2}{1001}+\frac{3}{1001}+\cdots+\frac{10}{1001}}\\&=\frac{2}{\frac{55}{1001}}\\&=\frac{2002}{55}\\&=36,4\end{align*}$

Nilai maksimum untuk $x$ adalah:
$\begin{align*}x&=\frac{2}{\frac{1}{1010}+\frac{2}{1010}+\frac{3}{1010}+\cdots+\frac{10}{1010}}\\&=\frac{2}{\frac{55}{1010}}\\&=\frac{2020}{55}\\&=36,7\end{align*}$

maka $36,4 \leq x \leq 36,7$. 

dengan demikian $\left\lceil  x\right\rceil=37$

Contoh 2

OSK SMA 2013

Pada persamaan fungsi tangga berikut berlaku:

$$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{2012} \right \rfloor} \right \rfloor  = \left \lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor $$

Jika $\left \lfloor x \right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yg lebih kecil ataupun sama dengan $x$, maka nilai $k$ yg memenuhi adalah ....

Pembahasan:
$\begin{align*} \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{2012} \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor 44,... \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{44,...} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor \sqrt{44} \right \rfloor&=\left \lfloor 6,... \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor 6,... \right \rfloor&=6+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 6&=6+\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 0&=\left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ 0\leq k < 2012\end{align*}$
$k=0,1,2,3,\cdots , 2011$

Jadi, nilai $k$ yg memenuhi adalah 0,1,2,3,..., 2011

Semoga Bermanfaat.