Download Diktat Olimpiade Matematika Demam Sma

kepada kesempatan kali ini Mathlab akan berbagi diktat olimpiade matematika SMA karya Bapak Eddy Hermanto, ST, semoga diktat ini bermanfaat buat adik-adik yg sedang mempersiapkan diri buat mengikuti olimpiade bahang bahang

download disini

Menentukan Jumlah Deret Aritmetika Bertingkat

Misalkan ada barisan $u_1, u_2, u_3, \cdots, u_n$ merupakan barisan dengan selisih tidak konstan. tetapi apabila diambil $D_1(n)=S_n-S_{(n-1)}$ lalu $D_2(n)=D_1(n)-D_1(n-1)$ bersama seterusnya sampai kepada suatu saat $D_k(n)=D_{k-1}(n)-D_{k-1}(n-1)$ bernilai konstan. Maka bisa kita ambil kesimpulan bahwa rumus jumlah $n$ suku pertama $S_n$barisan tersebut merupakan polinomial pangkat $k$.

Contoh:
Diketahui barisan 3, 6, 10, 15, 21, ... tentukan jumlah n suku pertama $S_n$ !

Solusi:
Jika kita perhatikan barisan bilangan 3, 6, 10, 15, 21, ... bukanlah merupakan barisan aritmetika karena selisihnya tidak konstan. Namun misalnya kita perhatikan selisihnya sebagai berikut:

atau bisa kita tulis dalam tabel sebagai berikut:

ternyata kepada tingkatan ketiga ataupun kepada tabel $D_3(n)$ selisihnya konstan. maka bisa disimpulkan bahwa jumlah suku ke $n$ ataupun $S_n$ barisan tersebut merupakan polinomial berderajat 3. 

misalkan : 

$S_n=an^3+bn^2+cn+d$

maka kita peroleh:

Dari kedua tabel didapat bahwa:

dari persamaan (1) diperoleh :

dari persamaan (2) diperoleh

dari persamaan (3) diperoleh

dari persamaan ke (4)












maka persamaan jumlah deret tersebut adalah






Jika Anda sudah memahami langkah-langkah menentukan jumlah deret aritmatika bertingkat seperti yg dijelaskan di atas, anda boleh mencoba menyelesaikan soal berikut:

Pembahasannya download disini

Baca juga: Konsep barisan aritmetika bertingkat

Ketaksamaan Rataan Kuadrat (Qm), Rataan Aritmatika (Am), Rataan Geometri (Gm) Kepada Rataan Harmonik (Hm)

Mungkin kita agak asing dengan istilah-istilah Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika / Arithmatic Mean (AM), Rataan Geometri / Geometric Mean (GM) beserta Rataan Harmonik / Harmonic Mean (HM), baiklah kalau gitu bakal saya jelaskan dulu satu persatu

Secara umum, Jika kita mempunyai n buah bilngan  maka di definisikan bahwa:

beserta selalu berlaku : 

Contoh Soal 1: 

(Soal Kompetensi Matematika SMU Bandung 1998/1999)

untuk p, q, r > 0 dan p+q+r=1 , buktikan bahwa  

Jawab:

 

Terbukti

Contoh Soal 2:

Buktikan bahwa   untuk bilangan real positif a dan b.

Jawab:

berdasarkan ketaksamaan AM-GM diperoleh:

Terbukti

Untuk Latihan:

Pembahasann soal di atas bisa di download disini

kering

Peluang (Kombinatorik)

panas

A.    KAIDAH PENCACAHAN

1.      Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)

Jika terdapat n buah tempat yg tersedia, dengan:

k1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama

k2 = banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi

k3 = banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi]

kn = banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat ke (n-1) terisi

maka banyaknya cara untuk mengisi n tempat yg tersedia secara keseluruhan adalah

 k1 x k2 x k3 x … x kn

Contoh 1:

Seseorang mempunyai 3 kemeja dengan 2 celana berbeda. Dengan berapa carakah orang tersebut beroleh menggunakan setelan pakaian?

Jawab:

Kejadian pertama beroleh diisi dengan 3 cara.

Kejadian kedua beroleh diisi dengan 2 cara.

Banyaknya cara yg beroleh terjadi: 3 × 2 = 6 cara

Contoh 2:

Dari lima buah angka 4,5,6,7,8 hendak disusun bilangan genap yg terdiri atas 3 angka. Berapakah banyaknya bilangan yg beroleh disusun misalnya bilangan tersebut boleh ada yg sama dan misalnya tidak boleh ada yg sama.

Jawab:

Jika boleh ada yg sama:

Angka pertama (ratusan) beroleh memilih 5 angka

Angka kedua (puluhan) beroleh memilih 5 angka

Angka ketiga (satuan) beroleh memilih 3 angka

Jadi banyaknya bilangan genap yg beroleh disusun adalah 5 ×  5 ×  3 = 75 Bilangan

Jika tidak boleh ada yg sama:

Karena tidak boleh ada yg sama maka kita dengan satuan

Angka ketiga (satuan) beroleh memilih 3 angka

Angka kedua (puluhan) beroleh memilih 4  angka

Angka pertama (ratusan) beroleh memilih 3 angka

Jadi banyaknya bilangan genap yg beroleh disusun adalah 3 ×  4 × 3 = 36 Bilangan

2.      Kidah Penjumlahan

Kaidah penjumlahan dilakukan jika  unsur-unsur yg tersedia tidak dipilih maupun tidak digunakan secara bersama-sama.

Contoh:

Andi memiliki 3 mobil,2 sepeda motor, dengan 4 sepeda. Ada berapakah banyaknya cara Andi pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut?

Jawab:

Banyaknya cara pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut adalah 3 + 2 + 4 = 9 cara

3.      Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian dilakukan misalnya unsur-unsur yg tersedia digunakan secara bersamaan.

Contoh:

Seseorang hendak bepergian dari kota A ke kota C.

Dari kota A ke kota B terdapat 5 jalan, dengan dari kota B ke kota C terdapat 2 jalan. Ada berapakah banyaknya jalur yg dapt ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B?

Jawab:

Banyaknya jalur yg beroleh ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B adalah

5 x 2 =10

B.     PERMUTASI

Secara umum banyaknya permutasi dari n objek diambil r objek dinotasikan nPr atau P(n,r)

P(n,r) = n! / (n-r)!

Dengan catatan r ≤ n

Yang harus diperhatikan dalam permutasi adalah dalam permutasi Urutan Sangat diperhatikan

(ab ≠ ba).

Notasi n! dibaca n faktorial.

Untuk setiap n bil. Asli didefinisikan:

n! = n × (n-1) ×  (n-2) × (n-3) × … × 3 × 2×1

catatan: 1! = 1 dengan 0! = 1

Contoh 1 (permasalahan Permutasi):

Berapakah banyaknya permutasi dari 6  unsur yg diambil 4?

Jawab:

n = 6 dengan r = 4, maka:

P(6,4) = 6! / (6-4)! = (6.5.4.3.2.1)/(2.1) = 360

Contoh 2:

Berapakah banyaknya bilangan yg terdiri dari 2 angka yg dibentuk dari angka-angka 3,4 dengan 5 ?

Jawab:

P(3,2) = 3! / (3-2)! = 6 bilangan

PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA

Banyaknya permutasi dari n objek yg memuat k , l, dengan m objek yg sama  diambil semua, maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / (k! × l! × m!)

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yg beroleh dibentuk dari huruf S, A, S ?

Jawab:

n = 3, huruf S = 2, huruf A = 1

P = 3! / 2! = 3 , yaitu kata SAS, SSA dengan ASS

jika permutasi dari n objek yg memuat k , l, dengan m objek yg sama  diambil r objek. maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / [(n-r)! (k! × l! × m!)]

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yg terdiri dari 2 huruf  yg beroleh dibentuk dari huruf S, A, S ?

Jawab:

n = 3, r = 2 ,  huruf S = 2, huruf A = 1

P = 3! /[(3-2)!×2!] = 3 , yaitu kata SA, SS dengan AS

PERMUTASI  SIKLIS

Permutasi dari n objek yg berbeda disusun secara melingkar adalah:

P(siklis) = (n - 1) !

Contoh:

Angga, Ana, Rizka, dengan Frida hendak mengadakan belajar bersama dengan sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka beroleh duduk mengelilingi meja tersebut?

Jawab:

n = 4

maka;

P= (4-1)! = 3! = 6 cara

C.    KOMBINASI

Kombinasi adalah suatu susunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur tanpa memperhatikan urutannya.

Secara umum banyaknya kombinasi dari n objek yg berbeda diambil r objek yangberbeda beroleh dinotasikan dengan;

C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]

Dengan catatan r ≤ n

Contoh:

Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dengan 5 kelereng kuning. Dari kantong tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengambilan misalnya kelereng yg diambil:

- ketiganya berwarna merah

- 2 kelereng berwarna merah dengan 1 kelereng berwarna kuning

- banyaknya pengambilan dengan warna bebas

 Jawab:

-          Ketiganya berwarna merah

C(7,3) = 7! / [(7-3)! 3!] = 35

-          2 kelereng berwarna merah dengan 1 kelereng berwarna kuning

C(7,2) × C(5,1) = [7!/(5!×2!)]×[5!/(4!×1!) = 105

-          banyaknya pengambilan dengan warna bebas

C(12,3) = 12! / (9!×3!) = 220

Pembahasan Osk / Osn Tingkat Kota Matematika Sma Panas 2017

sebelumnya saya mohon maaf sudah lama tidak update blog ini lagi,
dengan kesempatan kali ini saya coba untuk membahas soal OSN Matematika SMA tingkat Kabupaten/Kota tahun 2020 yg dilaksanakan serentak 14 Maret 2020.

1. Soal No 1 : Pembahasan
2. Soal No 2 : Pembahasan
3. Soal No 3 : Pembahasan
4. Soal No 4 : Pembahasan
5. Soal No 5 : Pembahasan
6. Soal No 6 : dalam proses
7. Soal No 7 : Pembahasan
8. Soal No 8 : dalam proses
9. Soal No 9 : dalam proses
10. Soal No 10 : dalam proses
11. Soal No 11 : dalam proses
12. Soal No 12 : dalam proses
13. Soal No 13 : dalam proses
14. Soal No 14 : dalam proses
15. Soal No 15 : dalam proses
16. Soal No 16 : dalam proses
17. Soal No 17 : dalam proses
18. Soal No 18 : dalam proses
19. Soal No 19 : dalam proses
20. Soal No 20 : dalam proses

Menentukan Banyaknya Faktor Positif Suatu Bilangan Asli

Misalnya kita mau menentukan banyaknya faktor positif dari 180 mungkin cara/ide yg terlintas di fikiran kita adalah dengan cara mendaftar bahwa faktor positif dari 180 adalah  1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180. dari daftar tersebut kita bisa melihat ternyata banyaknya faktor positif dari 180 adalah 18 faktor. Cara ini tidak salah, namun kurang efisien karena mau memakan waktu yg lebih lama bersama tentu memiliki tingkat kekeliruan yg lebih tinggi (beresiko ada faktor yg terlewat saat mendaftar).

Baiklah, sekarang kita mau gunakan cara yg lain. Jika kita perhatikan faktorisasi prima dari 180 yaitu maka kita beroleh menyatakan setiap faktor tersebut dalam bentuk  dengan a = 0, 1, 2 , b = 0, 1, 2 dan c = 0, 1.  Selanjutnya, kita gunakan aturan perkalian.

Dari faktorisasi prima di atas, kita beroleh melihat bahwa untuk menentukan banyaknya faktor positif dari 180  dapat dilakukan dengan tiga langkah :

pertama, memilih pangkat dari 2 beroleh dilakukan dengan 3 cara

kedua, memilih pangkat dari 3 beroleh dilakukan dengan 3 cara

ketiga, memilih pangkat dari 5 beroleh dilakukan dengan 2 cara

sehingga dengan aturan perkalian, banyaknya faktor positif dari 180 adalah .

Cara menghitung banyaknya faktor positif dari sembarang bilangan asli n dapat kita perumum sebagai berikut:

Contoh:

1. Tentukan banyaknya faktor positif dari 12.600
2. Tentukan banyaknya faktor positif genap dari 12.600
3. Tentukan banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600

Jawab:

1. Kita beroleh melihat bahwa faktorisasi prima dari 12.600 adalah 
, jadi banyaknya faktor positif dari 12.600 adalah :

2. Faktor positif genap dari 12.600 beroleh di nyatakan sebagai  dengan a = 1, 2, 3, b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif genap dari 12.600 adalah:

3. Banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah banyaknya semua faktor positif dikurangi banyaknya faktor positif genap. Jadi, banyaknya faktor positif ganjil adalah :

cara lain adalah dengan menghitung banyaknya kemungkinan bentuk  dengan a = 0,  b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah :

Mohon koreksi jikalau ada kekeliruan (silahkan isi komentar). Semoga bermanfaat

Baca juga : Cara menentukan jumlah semua faktor positif suatu bilangan