Guru Privat Matematika Jogja: Rasio Emas (Golden Ratio)

Tahu kah anda, ternyata tubuh manusia tersusun dengan proposi yg tepat, perbandingan yg akurat. Bahkan nilai perbandingan serupa ditemukan pula kepada hal lain, seperti susunan bunga bersama bahkan kepada bangunan piramida. Perbandingan tersebut dikenal sebagai golden ratio.

Apakah Golden Ratio itu?
kolor

Dari segi bahasa Golden Ratio terdiri dari dua kata, yaitu gold yg berarti emas, bersama ratio yang berarti perbandingan. Jadi, secara bahasa golden ratio bisa kita terjemahkan sebagai "perbandingan emas". Eits, tapi tunggu dulu bro, jangan kalian bayangkan emas disini emas dalam arti sebenarnya ya, apalagi berbentuk perhiasan, hehe. Kata "emas" di sini hanya berupa kata kiasan, "golden ratio" (perbandingan emas/rasio emas) menunjukkan bahwa ratio (perbandingan) yg kita bahas saat ini merupakan perbandingan yg berharga, istimewa layaknya emas. Kenapa berharga? Karena rasio emas ini diyakini sebagai proporsi ideal bersama memiliki nilai estetika tinggi.

Yang namanya rasio ataupun perbandingan, tentu setidaknya ada dua nilai yg kita bandingkan, lalu perbandingan seperti apakah yg di katakan sebagi golden ratio (rasio emas) itu?

Dua nilai dianggap berada dalam hubungan rasio emas $(\varphi)$ bila rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yg besar sama dengan rasio antara nilai yg besar terhadap nilai yg kecil.

untuk lebih memahaminya perhatikan ilustrasi berikut:

Misal kita mempunyai ruas garis $a$ bersama $b$ dengan $a\gt b\gt 0$ (lihat gambar di bawah):

rasio emas terjadi jika:

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$

Sederhana bukan?

Oh ya, perlu diketahui juga bahwa Golden Ratio (rasio emas) memiliki sebutan lain, diantaranya: sectio aurea (bagian emas), extreme and mean ratio (rasio ekstrem bersama rata-rata), medial section (bagian tengah), divine proportion (proporsi ilahiah), divine section (Latin: sectio divina), golden proportion (proporsi emas), golden cut, dan golden number. Dalam artikel ini, saya atas menggunakan istilah rasio emas.

Secara umum, rasio emas disimbolkan dengan huruf ke-21 dalam abjad Yunani yaitu phi $(\varphi)$ dalam beberapa sumber bro bersama sist mungkin atas menemukan rasio emas ini disimbolkan dalam bentuk tak lazim tau $(\tau)$, tau merupakan salah satu huruf Yunani yg berarti "memotong" namun simbol yg lebih umum adalah $\varphi$. Kenapa secara umum menggunakan huruf $\varphi$? alasannya nanti atas saya jelaskan kepada bagian "Sejarah Golden Ratio" pada artikel ini. Jadi simak baik-baik sampai selesai ya... 😉

Berapakah Nilai dari Rasio Emas?

Jika bro bersama sist dah paham seperti apa rasio emas itu, maka sekarang kita atas mencoba menentukan nilainya.

Dua nilai $a$ bersama $b$ dinyatakan berada dalam rasio emas jika:

$$\varphi=\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$maka:

$$\begin{align*}\frac{a+b}{a}&=\frac{a}{b}\\1+\frac{b}{a}&=\frac{a}{b}\\1+\frac{1}{\varphi}&=\varphi\\\varphi+1&=\varphi^2\\ \varphi^2-\varphi-1&=0\\ \left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}&=0\\ \left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2&=\frac{5}{4}\\ \varphi-\frac{1}{2}&=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\\ \varphi&=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{align*}$$

Karena $\varphi$ merupakan perbandingan, sehingga tidak mungkin nilainya negatif, maka nilai yg memenuhi adalah $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ataupun dalam bentuk desimal $\varphi=1,6180339887\cdots$
Perlu diketahui bahwa $\varphi$ juga merupakan bilangan irasional.

Nilai rasio emas $(\varphi)$ lebih lengkap dalam berbagai bentuk lihat tabel berikut:

Sumber: Wikipedia

Sejarah Golden Ratio

Sebenarnya tidak ada informasi pasti kapan pertama kali angka menakjubkan ini ditemukan bersama mulai dikenal umat manusia. Dari informasi yg saya coba gali, ternyata begitu banyak nama yg terlibat di dalamnya, bahkan konon katanya rasio emas ini selama 2.400 tahun sedia memikat/menarik perhatian kaum intelektual dari berbagai bidang disiplin ilmu, seperti bidang matematika, fisika, biologi, seni, sejarah, arsitektur, ekonomi, bahkan ahli bidang mistik pun memperdebatkannya. Sungguh luar biasa bukan?

Rasio Emas Digunakan dalam Arsitektur Mesir Kuno bersama Yunani

Rasio Emas kepada Piramida

Banyak orang yg meyakini dalam pembangunan piramida, orang-orang mesir kolor berlalu sudah menggunakan rasio emas dalam disain kontruksi bangunan Piramida, termasuk Partenon di Yunani.

Golden Ratio dalam Parthenon

Phidias (500 SM - 432 SM), merupakan seorang pemahat dari Yunani yg konon menurut sejarah doi selalu menggunakan rasio emas (golden ratio) dalam disain patung-patung yg ia buat, di antaranya pahatan bersama patung kepada Parthenon.

Ditemukannya Deret Fibonacci Pada Sekitar Tahun 1200

Leonardo da Pisa (1170 - 1250) dikenal sebagai Fibonacci, menemukan sifat-sifat tak biasa dari barisan bilangan, yg kini menyandangkan namanya kepada barisan bilangan tersebut (barisan bilangan/deret Fibonacci). Namun tidak angsal dipastikan apakah Fibonacci sendiri menyadari adanya keterkaitan antara barisan bilangan yg ia temukan dengan rasio emas ataupun tidak. Sebagai informasi tambahan, Liber Abaci merupakan karya Fibonacci yg memberikan sumbangan besar dalam matematika.

Dikenal Sebagai "Rasio Ilahi" Sekitar Tahun 1500

Luca Pacioli (1447 - 1517) seorang matematikawan bersama juga biarawan asal Italia, dalam karyanya De Divina Proportione diduga menjadi orang pertama yg menyebut rasio emas sebagai "rasio ilahi". Di dalam buku tersebut terdapat gambar-gambar ilustrasi hasil karya Leonardo Da Vinci, ada dugaan Davinci merupakan orang pertama yg menyebutkan "sectio aurea" yang berarti "bagian emas" dalam bahasa latin.

Karya Lenardo Da Vinci

Michael Maestin (1550 - 1631) diketahui sebagai orang pertama yg menyatakan rasio emas dalam bentuk desimal.

Johannes Kepler (1571-1630), penemu sifat elips dari orbit planet di sekitar matahari, juga menyebutkan "Proporsi Ilahi," serta menyebut rasio emas sebagai "permata berharga".

Dikenal Sebagai "Rasio Emas" Sekitar Tahun 1800

Martin Ohm (1792-1872) diyakini sebagai orang pertama yg menggunakan istilah "Rasio Emas" untuk menggambarkan rasio emas yg termuat dalam bukunya berjudul Die Reine Elementar-Mathematik (Matematika Dasar Murni) yang di terbitkan tahun 1815.

Simbol phi $( \varphi )$ Digunakan kepada Rasio Emas Sekitar Tahun 1900

Pada tahun 1900, seorang matematikawan Inggris bernama Mark Barr menggunakan huruf Yunani Phi $( \varphi )$ sebagai simbol dari rasio emas. Phi yg di gunakan bisa huruf kecil $(\varphi)$ bisa juga huruf besar $(\phi)$.

Kenapa Huruf Phi $(\varphi)$ yg "dipilih"?

Alasan kenapa huruf $\varphi$ yg digunakan sebagai simbol dari rasio emas, hal ini berkaitan dengan beberapa orang/tokoh yg terlibat dalam sejarah rasio emas itu sendiri, di antaranya yaitu Phidias dan juga Fibonacci. $\varphi$ merupakan huruf Yunani yg setara dengan "F", jadi huruf $\phi$ mewakili huruf pertama dari Phidias dan juga Fibonacci. $\varphi$ juga merupakan huruf yg berada kepada urutan ke-21 kepada huruf Yunani, bersama 21 termasuk ke dalam deret Fibonacci. Disamping itu, karakter $\varphi$ juga dipercaya memiliki makna teologis yg menarik.

Barisan Bilangan Fibonacci bersama Rasio Emas, Apa Hubungannya?

Mungkin bro bersama sist sudah gak asing dengan barisan bilangan Fibonacci, barisan bilangan yg dimulai dari o bersama 1 kemudian angka berikutnya merupakan jumlah dari dua angka sebelumnya, berikut ini barisan bilangan yg dikenal dengan barisan Fibonacci:
$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$$
Lalu apa hubungannya dengan rasio emas?
Jika kita mecoba membuat rasio (perbandingan) setiap suku kepada barisan Fibonacci dengan suku sebelumnya, ataupun secara matematis kita tulis $\frac{U_n}{U_{n-1}}$, maka kita atas menemukan hasil yg luar biasa, berikut ini hasil yg saya peroleh dengan menggunakan aplikasi Ms. Excel:

Pada perhitungan di atas, saya mengambil tiga angka di belakang koma, perhatikan bilangan yg saya tandai kepada gambar di atas, sungguh menakjubkan, hasilnya ternyata mendekati rasio emas, "mendekati" karena perhitungan di atas merupakan hasil pembulatan.

Rasio Emas dalam Berbagai Bidang
Rasio emas $\varphi=1,618$ selama 2400 tahun sedia menarik perhatian kaum intelektual dari berbagai bidang disiplin ilmu, berikut ini beberapa diantaranya:

Rasio Emas kepada Bidang Biologi
Rasio emas ternyata banyak ditemukan di alam, ini menjadi kajian menarik dalam bidang biologi, perhatikan beberapa gambar berikut ini:

Persegi panjang emas

Rasio Emas kepada keong

Rasio Emas kepada tubuh manusia

Rasio Emas terdapat kepada bunga

Rasio Emas terdapat kepada DNA

Proporsi tangan manusia sesuai rasio emas

kolor
kolor

Rasio Emas Pada Bidang Arsitektur

Berikut ini rasio emas yg terdapat kepada bidang arsitektur

Rasio emas kepada Parthenon

Rasio Emas kepada Bidang Seni

Sejak Abad Renaisans, banyak seniman dan arsitek telah membuat proporsi karya sesuai dengan rasio emas, terutama dalam bentuk persegi emas, yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai rasio emas, dipercaya proporsi ini secara estetika sangat ideal. Sebuah persegi panjang emas angsal dipotong menjadi persegi dan persegi panjang kecil dengan rasio aspek yang sama persis.