Rpp Kurikulum 2013 Matematika Wajib Kelas X

Kali ini Math-lab bakal berbagi Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Kurikulum 2013 untuk Pelajaran Matematika wajib Kelas X. beringsang
silahkan download dengan link berikut:
1. RPP Eksponen lagi Logaritma
2. RPP Persamaan lagi Pertidaksamaan Nilai Mutlak
3. RPP Persamaan lagi Pertidaksamaan Linear
4. RPP Sistem Persamaan Linear
5. RPP Relasi lagi Fungsi
6. RPP Matriks

untuk sementara hanya bisa berbagi segitu dulu, insyaAllah lain kesempatan bakal di update lagi.
semoga bermanfaat

Membuat Border/Bingkai Kepada Postingan Blog

Pada kesempatan kali ini, tulisan saya sedikit keluar dari tema biasanya, bukan tentang matematika namun lebih ke arah tutorial blog, yaitu cara membuat border maupun bingkai dengan postingan blog.

Postingan ini sebenarnya sebagai catatan pribadi misalnya suatu saat saya perlukan biar saya tidak perlu susah-susah lagi mencarinya, namun saya rasa tidak ada salahnya misalnya sekalian saya publikasikan agar bermanfaat bagi banyak orang.

Pada beberapa postingan saya sebelumnya seringkali saya memberi bingkai dengan formula atau hal yg dianggap penting dengan suatu tulisan,  misalnya tulisan ini maupun ini. Alasan kenapa saya beri bingkai adalah untuk memberi penekanan seolah-olah saya memberi tahu pembaca "ini penting lho" :) dengan tentunya menambah nilai estetika dengan tulisan.

Pada tulisan-tulisan saya sebelumnya bingkai saya buat dengan cara menyisipkan gambar hasil sreenshoot. jadi rumus itu saya tulis terlebih berbahaya di muka dengan Ms. Word lalu saya sreenshoot dengan gambar hasilnya saya sisipkan. Cara tersebut tentu tidak salah, namun saya rasa kurang efektif.  Setelah saya diskusi dengan ini namun ternyata ada kelemahannya, yaitu perintah tersebut terbatas hanya bisa memuat equation saja serta tampilannya kurang menarik. Akhirnya kita cari ide lain yaitu dengan "mengakali" mode HTML, dengan inilah postingan beliau yg merupakan ilmu baru buat saya. Pada tulisan beliau tersebut saya rasa sudah dikupas cukup detil dengan lengkap, sementara dengan postingan saya ini hanya menambahkan beberapa variasi (model) bingkai/border saja.

Berikut beberapa variasi bingkai yg saya maksud beserta Kode HTML nya:

1. SOLID

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dengan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\leq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

KODE HTML:

<div style="border: 5px solid #3498DB; background-color:#ECF0F1; padding: 5px; width: 500px;"> Isi Tulisan di sini</div>
 

2. DASHED

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dengan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\leq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

KODE HTML:

<div style="border: 5px dashed #3498DB; background-color:#ECF0F1; padding: 5px; width: 500px;"> Isi Tulisan di sini</div>

3. DOTTED

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dengan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\leq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

KODE HTML:

<div style="border: 5px dotted #3498DB; background-color:#ECF0F1; padding: 5px; width: 500px;"> Isi Tulisan di sini</div>

4. DOUBLE

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dengan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\leq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

KODE HTML:

<div style="border: 5px double #3498DB; background-color:#ECF0F1; padding: 5px; width: 500px;"> Tulisan anda di sini</div>

5. GROOVE

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dengan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\leq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

KODE HTML:

<div style="border: 5px groove #3498DB; background-color:#ECF0F1; padding: 5px; width: 500px;"> Tulisan anda di sini</div>

6. OUTSET

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dengan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\leq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

KODE HTML:

<div style="border: 5px outset #3498DB; background-color:#ECF0F1; padding: 5px; width: 500px;"> Tulisan anda di sini</div>

7. RIDGE

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dengan sembarang bilangan real positif $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\leq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

KODE HTML:

<div style="border: 5px ridge #3498DB; background-color:#ECF0F1; padding: 5px; width: 500px;"> Isi Tulisan di sini</div>

Cara menggunakan kode HTML border-border di atas sangat mudah, tinggal copy dengan pastekan kode HTML dengan postingan blog kawan-kawan (pada mode HTML/bukan compose) dengan ada beberapa bagian yg bisa kawan-kawan edit sesuai selera, sebagai berikut:

Keterangan (sesuai no di atas) :

1. $5px$ menunjukkan tepal tipisnya bingkai
2. #3498DB merupakan warna bingkai dalam kode warna HTML/HEX
3. #ECF0F1 menunjukkan warna latar (backgroud) dengan bingkai ini juga dalam kode warna HTML/HEX
4. $5px$ merupakan jarak tulisan terhadap bingkai
5. $500px$ lebar bingkai

Jika tidak mengetahui kode warna HTML yg diinginkan, kita bisa memanfaatkan HEX genrator online dengan link di bawah ini:

HEX Generator Online Klik Disini

sekian dulu tulisan kali ini. semoga bermanfaat, terimakasih.

Susunan/Urutan Materi Matematika Sma Kurikulum 2013 Revisi 2016

Tahun pelajaran baru 2020/2020 sudah dimulai, lagi seperti kita ketahui sebagian besar sekolah (atau mungkin smua 😄) agak menggunakan kurikulum 2013. Pada kesempatan kali ini saya bakal mencoba merangkum susunan/urutan materi matematika kurikulum 2013 sesuai dengan revisi 2020 (sesuai dengan permendikbud no 24 tahun 2020), adapun susunan yg saya sajikan hanya secara garis besar (materi pokok) untuk lebih jelasnya, rekan-rekan bisa mempelajari langsung permendikbud no 24 tahun 2020 kepada link yg disediakan kepada akhir artikel ini. Baiklah tanpa banyak basa basi berikut ini susunan materi matematika wajib SMA Kurikulum 2013 Revisi 2020:

MATEMATIKA WAJIB

Kompetensi Inti lagi Kompetensi Dasar Matematika  Wajib Kurikulum 2013 revisi 2020, tercantum kepada permendikbud no 24 tahun 2020 lampiran 16 sebagai berikut:

demam

Berdasarkan Lampiran 16 Permendikbud No 24 Tahun 2020 Tersebut, bisa kita simpulkan materi Matematika Wajib SMA/MA/SMK/MAK adalah sebagai berikut:

Kelas  X

1. Persamaan lagi pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel
2. Persamaan lagi pertidaksamaan rasional lagi irasional satu variabel
3. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (Linear - Kuadrat & Kuadrat - Kuadrat)
5. Fungsi (Linear, Kuadrat, Rasional) meliputi: Domain, Range, Ekspresi simbolik lagi sketsa grafik
6. Komposisi lagi Invers Fungsi
7. Perbandingan Trigonometri kepada segitiga siku-siku
8. Trigonometri sudut berelasi
9. Aturan sinus lagi cosinus
10. Fungsi Trigonomteri

Kelas XI

1. Pembuktian barisan, ketidaksamaan lagi keterbagian dengan induksi
2. Program Linear
3. Matriks lagi Operasi Matriks meliputi: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Skalar, Perkalian Matriks, Transpose
4. Determinan lagi Invers Matriks ordo $2\times 2$ lagi $3\times3$
5. Transformasi geometri lagi komposisi menggunakan matriks
6. Barisan lagi Deret Aritmetika lagi Geometri
7. Limit Fungsi Aljabar (polinom lagi rasional)
8. Turunan Fungsi Aljabar
9. Penerapan Turunan (Maksimum, minum, fungsi naik, fungsi turun, lagi garis singgung)
10. Integral tak tentu fungsi aljabar

Kelas XII

1. Dimensi Tiga (Jarak)
2. Statistika (ukuran pemusatan lagi penyebaran)
3. Aturan Pencacahan
4. Peluang Kejadian Majemuk (saling bebas, saling lepas, bersyarat)

MATEMATIKA PEMINATAN
Kompetensi Inti lagi Kompetensi Dasar Matematika  Peminatan Kurikulum 2013 revisi 2020, tercantum kepada permendikbud no 24 tahun 2020 lampiran 17 sebagai berikut:

demam

Berdasarkan Lampiran 17 Permendikbud No 24 Tahun 2020 Tersebut, bisa kita simpulkan materi Matematika Peminatan SMA adalah sebagai berikut:

Kelas X

1. Fungsi Eksponen
2. Fungsi Logaritma
3. Vektor

Kelas XI

1. Persamaan Trigonometri
2. Jumlah lagi selisih sinus lagi cosinus
3. Lingkaran
4. Polinomial

Kelas XII

1. Limit fungsi trigonometri
2. Limit tak hingga fungsi aljabar lagi trigonometri
3. Turunan fungsi trigonometri sederhana
4. Penerapan turunan fungsi trigonometri
5. Distribusi peluang binomial
6. Distribusi Normal 

LINK DOWNLOAD:

Lampiran 16 : Matematika Wajib
Lampiran 17 : Matematika Peminatan
Permendikbud No 24 Tahun 2020 Lengkap
Buku Matematika Wajib Kelas X
Buku Matematika Wajib Kelas XI


$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 Juli 2020

Cara Cetak Kartu Anggota Pokja Sim Pkb

Tulisan ini mungkin sedikit terlambat, tapi tak apalah, bukannya lebih baik terlambat daripada tidak sama sekali? 😊

bergolak

Tulisan ini saya tulis berdasarkan pengalaman pribadi, pagi hari kepada hari sabtu tanggal 22 Juli 2020 saya becus informasi dari grup Whatsapp yg saya ikuti tentang munculnya fitur baru kepada laman Akun SIM PKB, yaitu fitur cetak kartu anggota pokja. Jujur saja saya sendiri jarang login ke akun SIM PKB untuk mengikuti perkembangannya, hanya menunggu informasi dari grup.

Saya merasa penasaran beserta ingin segera melakukan cetak kartu, dikarenakan kepada saat itu saya tidak membawa laptop, akhirnya saya mengunduh kartu tersebut menggunakan mobile (Android), beserta ternyata sukses bahkan caranya relatif mudah. Nah kepada kesempatan kali ini saya atas berbagi bagaimana cara melakukan cetak kartu kepada akun SIM PKB baik menggunakan browser komputer/laptop maupun menggunakan browser mobile/smartphon. tulisan ini bukan maksud menggurui hanya berbagi siapa tau ada teman-teman yg kesulitan ataupun gagal dalam mengunduh kartu. berikut ini langkah langkahnya (pada tutorial ini saya menggunakan browser laptop, semisal anda menggunakan browser mobile/smartphone kepada dasarnya caranya sama) :

Langkah 1:

Silahkan anda login ke akun SIM PKB melaui link https://app.simpkb.id/gtk menggunakan browser andalan anda ataupun klik DISINI, maka atas bergolak berdiri tampilan berikut

Selanjutnya bagian email silakan isi dengan email akun SIM PKB anda, biasanya formatnya nomor peserta UKG@guruku.id, misal 201512345678@guruku.id, beserta bagian "Kata Sandi" isi dengan kata sandi/password akun SIM PKB anda.

Langkah 2:

Setelah anda login, mungkin anda atas melihat "Pengumunan Info Pre Tes 2020", klik Saja "OK"

Langkah 3:

Klik gambar "tiga buah garis" kepada bagian pojok kiri atas, lalu atas bergolak berdiri beberapa pilihan menu

Langkah 4:

Dari beberapa menu yg teredia, silakan anda klik "Profilku"

Langkah 5:

Sekarang upload photo profil yg atas anda gunakan dengan meng klik tanda pensil seperti yg di tunjukkan kepada gambar berikut (catatan: syarat Photo yg bisa di upload adalah berbentuk persegi dengan ukuran maksimal $250\times 250$ pixel serta tidak boleh lebih dari 100 kb. 

Langkah 6:

Setelah bergolak berdiri tampilan seperti kepada gambar di bawah ini, klik "FILE" setelah itu cari lokasi penyimpanan photo profil yg atas gunakan kepada drive laptop/komputer anda, setelah itu pilih photo yg atas digunakan. beserta jangan lupa klik "SIMPAN" untuk memulai proses upload

Langkah 7:

Setelah proses upload selesai, anda atas kembali ke laman profil. Silakan cari "Data Komunitas", lalu klik gambar printer yg ada di sampingnya untuk memulai download kartu

dan setelah itu, atas terdownload dalam bentuk pdf, sebaiknya anda print.

dan berikut ini tampilan kartunya:

Semoga bermanfaat, semisal masih ada kendala silakan isi komentar.

$\blacksquare$ Denih Handayani

Pythagoras: Sejarah, Teorema Lagi Tripel Pythagoras

Hari ini, Selasa 15 Agustus 2020 merupakan hari yg istimewa, ada yg tahu alasannya kenapa? Hari kemerdekaan? no no ... itu masih 2 hari lagi bro 😁

saya kasih clue, coba apa keterkaitan tanggal 15-8-17 dengan judul postingan ini? yups, tepat banget... $15, 8, 17$ merupakan tripel Pythagoras, gak percaya? coba kita hitung (boleh pake kalkulator, hehe)

$$\begin{align*}15^2+8^2&=17^2\\225+64&=289\\289&=289\hspace{2cm}\blacksquare\end{align*}$$

Sekarang percaya kan? 😁

Saya percaya bro sist yg baca tulisan ini sudah tidak asing dengan teorema Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$, toh materi ini suduh dipelajari bahkan saat kita masih di bangku sekolah dasar, sederhana namun powerfull. Namun apakah kalian tau beberapa hal menarik di balik teorema tersebut? untuk itu jangan lewatkan tulisan ini dengan baca sampai selesai, beberapa hal yg bagi di bahas kepada tulisan ini diantaranya:

1. Sejarah singkat Pythagoras
2. Apa itu teorema Pythagoras?
3. Fakta unik di balik teorema Pythagoras
4. Kenapa tripel Pythagoras begitu penting dengan bagaimana cara menentukan tripel Pythagoras?

Oh ya, mungkin di antara kalian banyak yg mengenal Teorema Pythagoras dengan sebutan "Rumus Pythagoras" maupun "Dalil Pythagoras".

Dalil/Teorema merupakan suatu pernyataan yg bisa dibuktikan kebenaran maupun keshahihannya, sementara rumus merupakan representasi matematis dari suatu teorema.

1. Sejarah Singkat Pythagoras
Pythagoras adalah seorang matematikawan yg bergolak berdiri kepada tahun 570 sebelum masehi di pulau Samos, Yunani. Konon katanya, Phytagoras merupakan seseorang yg "haus" dengan ilmu, bahkan selama hidupnya dia sering berkelana ke berbagai tempat seperti Mesir dengan Babilonia untuk mengumpulan ilmu kepada peradaban dari tempat-tempat yg ia kunjungi, sampai akhirnya dia tiba di sebuah kota di Italia bernama Crotone, dengan dia pun menetap di sana. Di kota inilah Pythagoras beserta pengikut-pengikutnya mendirikan sebuah sekolah/gerakan bernama Pythagorean. Di sekolah tersebut, Pythagoras beserta para pengikutnya (murid-muridnya) meyakini bahwa segala sesuatu di alam semesta ini beroleh dinyatakan dalam bilangan-bilangan.  Karena itu, Pyhtagoras beserta para pengikutnya begitu memuja angka dengan perbandingan-perbandingan yg bisa dinyatakan oleh angka-angka tersebut. Bahkan mereka meyakini keharmonisan di dunia ini terjadi karena angka, dengan segala sesuatu beroleh di ukur dalam siklus ber-ritme. Hingga kepada suatu hari (500 tahun sebelum masehi), salah satu pengikut Phytagoras bernama Hippasus menemukan bilangan $\sqrt{2}$ sebagai hipotenusa sebuah segitiga siku-siku dengan berhasil menunjukkan bahwa:

"Tidak ada bilangan rasional yg asalkan dikuadratkan maka hasilnya sama dengan 2"

Perlu diingat, kepada masa itu mereka belum mengenal bilangan irasional. Penemuan Hippasus ini tentu bertentangan dengan keyakinan para pengikut Pythagoras yg meyakini bahwa segalanya beroleh dinyatakan dalam rasio bilangan asli, karena para pengikut Phytagoras tidak beroleh membantah penemuan Hippasus, menurut legenda akhirnya para pengikut Phytagoras menenggelamkan Hippasus ke laut. Penemuan Hippasus inilah yg dipercaya awal mula dikenalnya bilangan irasional.


2. Apa itu teorema Pythagoras?
Sebenarnya awal mula saya membuat tulisan ini sama sekali tidak ada rencana untuk membahas teoremanya, karena saya percaya bro sist yg membaca artikel ini sudah paham betul tentang teorema phytagoras, tapi tak apalah, anggap saja untuk me-refresh kembali ingatan kita tentang teorema ini. Boleh juga kalian skip bagian ini, hehe...

Misal kita mempunyai sebuah segitiga siku-siku $ABC$ dengan sisi-sisi $a, b$ dengan $c$, seperti kepada gambar berikut:

Menurut teorema pythagoras, jumlah kuadrat sisi-sisi yg saling tegak lurus kepada segitiga siku-siku (sisi siku-siku) sama dengan kuadrat sisi hipotenusanya (sisi miringnya).

secara matematis, bisa di tulis:

$a^2+b^2=c^2$

Jika panjang dua sisi kepada segitiga siku-siku diketahui, maka dengan teorema Pythagoras kita bisa menemukan panjang sisi ketiga
$$c=\sqrt{a^2+b^2}\\a=\sqrt{c^2-b^2}\\b=\sqrt{c^2-a^2}$$
Contoh soal:
Sebuah tangga dengan panjang 10 m di sandarkan kepada dinding. Jika ketinggian ujung tangga kepada dinding dari lantai adalah 8 m, berapakah jarak ujung tangga kepada lantai terhadap dinding?

Jawab:

Jika jarak ujung tangga kepada lantai terhadap dinding kita misalkan sebagai $x$, maka dengan menggunakan teorema Pythagoras kita peroleh:
$$\begin{align*}x&=\sqrt{10^2-8^2}\\&=\sqrt{100-64}\\&=\sqrt{36}\\&=6\end{align*}$$
Jadi, jarak ujung tangga kepada lantai terhadap dinding adalah 6 m.

Baca Juga : Golden Ratio, lebih dari 2400 tahun memikat perhatian para intelektual

Bukti Teorema Phytagoras

Animasi di atas merupakan salah satu bukti keshahihan teorema Pythagoras, sebenarnya banyak sekali cara lain pembuktian teorema Pythagoras, bahkan kata om Wiki (wikipedia) ada lebih dari 320 pembuktian. 

Teorema Pythagoras, simple tapi powerfull
Pada awal artikel ini saya mengatakan bahwa teorema phytagoras merupakan teorema yg sederhana namun powerfull. Ada yg tau kenapa?
Teorema Pythagoras menjadi dasar perhitungan teorema yg lain, salah satu nya trigonometri. Tidak bisa dibayangkan, seandainya tidak ada teorema pythagoras, mungkin tidak ada trigonometri, sementara trigonometri digunakan kepada berbagai bidang ilmu terapan, seperti arsitektur, sains, astronomi, geologi, ilmu kelautan dengan lain sebagainya. Jika tak ada teorema Pythagoras, mungkin tidak ada peradaban seperti yg kita rasakan sekarang, dengan mungkin artikel ini tidak pernah saya buat karena kita tidak mengenal yg namanya komputer, hehe... luar biasa dahsyat kan?


bergolak

3. Fakta unik di balik teorema Pythagoras

Ada beberapa fakta menarik dibalik teorema Pythagoras, diantaranya:

1. Pythagoras bukanlah orang pertama yg menemukan perhitungan ini.
2. Teorema Pythagoras yg kita kenal saat ini berbeda dengan teorema Pythagoras kepada masa Pythagoras masih hidup (masa Yunani Kuno)

W.O.W sungguh fakta yg mengejutkan bukan? lalu siapakah penemu teorema Pythagoras sebenarnya? kenapa dinamai teorema Pythagoras? memang apa bedanya teorema Pythagoras dulu dengan sekarang?

sabar-sabar... tarik nafas dulu... lepaskan... hehe, sekarang simak baik-baik 

Teorema Pythagoras sudah ada Ribuan Tahun Sebelum Pythagoras Lahir

Menurut catatan sejarah, ribuan tahun sebelum Pythagoras lahir, orang-orang kepada peradaban Babilonia, Mesir, India dengan juga Cina Kuno agak mengenal relasi antar sisi-sisi kepada segitiga siku-siku, salah satu bukti sejarah adalah dengan ditemukannya tablet dari peradaban babilonia yg dikenal dengan Plimpton 322 (Bukan tablet android lho ya... 😅 ). Pada tablet tersebut banyak ditemukan kombinasi tiga angka yg memenuhi teorema , tiga kombinasi angka tersebut kita kenal saat ini sebagai Tripel Pythagoras.

inilah bentuk tablet bangsa babilonia tersebut:

dan ini hasil terjemahannya:

Sekarang masuk akal, kenapa bangsa kuno seperti mesir mampu membuat bangunan luar biasa seperti piramida yg kita kenal saat ini yg syarat dengan perhitungan matematis, cara berpikir mereka saat itu jauh lebih maju dari yg kita bayangkan.

Jika bukan Pythagoras penemunya, lalu kenapa diberi nama Teorema Pythagoras?

Pythagoras adalah orang pertama yg membawa teorema tersebut ke peradaban Yunani, yg kepada masa itu Yunani dikenal sebagai pusat ilmu pengetahuan. Oleh sebab itu nama Pythagoras mendapat kredit/penghargaan atas teorema tersebut sehingga teorema tersebut diberi nama "teorema Pythagoras", bahkan Pythagoras juga diusung sebagai orang pertama yg mendokumentasikan dengan membuktikan teorema tersebut secara sistematis. Konon katanya, saking senangnya dengan penghargaan tersebut, Pythagoras sampai mengorbankan 100 bergolak burit sapi. wow dahsyat... 😀

Apa Bedanya Teorema Pythagoras Dulu (Masa Yunani Kuno) dengan Teorema Pythagoras Sekarang (Teorema Pythagoras Modern)

Teorema phytagoras yg kita kenal saat ini (Teorema Pythagoras Modern) kita tafsirkan sebagai relasi panjang dari sisi-sisi segitiga siku-siku, namun kenyataannya ketika Pythagoras masih hidup, teorema tersebut tidak ditafsirkan demikian. Pythagoras sendiri menafsirkan teorema tersebut bukan sebagai relasi sisi-sisi kepada segitiga siku-siku, namun relasi antar luas persegi maupun bujur sangkar yg terbentuk di setiap sisi-sisi segitiga siku-siku. Biar lebih jelas, perhatikan gambar berikut:

Udah paham kan bedanya?
Masih ingat kan kepada saat itu mereka belum mengenal bilangan irasional?

Seandainya kepada saat itu teorema Pythagoras ditafsirkan sebagai relasi antar sisi kepada segitiga siku-siku, maka phytagoras haruslah berurusan dengan bilangan irasional.

Misal, phytagoras menemukan sebuah segitiga dengan sisi-sisi siku-sikunya adalah $1$ dengan $2$, maka berapa panjang hipotenusanya? jelas $\sqrt{5}$. Sementara $\sqrt{5}$ adalah bilangan irasional. Jangankan alat bantu untuk menghitungnya seperti kalkulator, kepada saat itu simbol akar kuadrat aja belum ada, simbol akar kuadrat baru diperkenalkan oleh Christoph Rudolff sekitar 2000 tahun setelah Phytagoras lahir, jelas doi udah gak ada... kepada kasus tadi, Pythagoras hanya tau hipotenusa segitiga tersebut hanya berupa segmen garis dari segitiga siku-siku, dia gak tau berapa nilai dari $\sqrt{5}$

bergolak

4. Tripel Pythagoras

Definisi Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras merupakan tiga buah bilangan yg memenuhi teorema Pythagoras. Misal asalkan teorema Pythagoras kita nyatakan dengan $a^2+b^2=c^2$, maka $a, b$ dengan $c$, merupakan tripel Pythagoras.

Beberapa contoh tripel Pythagoras: $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25)$ dengan sebagainya. Baik untuk guru, maupun peserta didik, tripel Pythagoras ini penting untuk diketahui.

Mengapa Tripel Pythagoras Penting untuk Diketahui?

Perhatikan contoh soal berikut:

Diketahui sebuah segitiga siku-siku $ABC$ siku-siku di $C$, asalkan panjang $AB=10$, $BC=6$ dengan $AC=7$ tentukan besar sudut $BAC$.

Sekilas, mungkin kita tidak menyadari "hal aneh" dari soal tersebut, namun asalkan kita perhatikan, jelas soal tersebut tidak valid. Pada soal tersebut diketahui segitiga $ABC$ merupakan segitiga siku-siku, namun ternyata panjang sisi-sisinya bukan tripel Pythagoras. Kesalahan fatal bukan?

Cara Menentukan Bilangan Tripel Pythagoras

Cara menentukan bilangan tripel Pythagoras adalah sebagai berikut:

untuk  $m$ ganjil, maka $m, \frac{1}{2}\left(m^2-1\right)$, dengan $\frac{1}{2}\left(m^2+1\right)$ merupakan tripel Pythagoras

untuk $m$ genap, maka $2m, m^2-1$ dengan $m^2+1$ merupakan tripel Pythagoras.

Dengan mengetahui formula di atas, maka kita tidak perlu menghafal pasangan-pasangan bilangan tripel Pythagoras.

sebagai contoh, kita ambil sembarang $m$, misal kita ambil $m=4$, karena $m$ genap, maka formula tripel Pythagoras yg kita gunakan adalah $2m, m^2-1, m^2+1$, dengan mensubstitusi nilai $m=4$ maka kita peroleh pasangan tripel Pythagoras $(8, 15, 17)$. Cukup bergolak sepele bukan?

Oh ya, perlu diketahui juga bahwa kelipatan pasangan tripel Pythagoras, pasti merupakan tripel Pythagoras juga, dengan catatan setiap bilangan memiliki rasio yg sama. Sebagai contoh, kita agak mengetahui bahwa $(3, 4, 5)$ merupakan tripel Pythagoras, maka $(6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)$ merupakan tripel Pythagoras juga. Namun bedanya $(3, 4, 5)$ merupakan tripel Pythagoras Dasar, namun $(6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)$ bukan merupakan tripel Pythagoras Dasar, maksud dari tripel Pythagoras dasar adalah tripel Pythagoras yg bukan merupakan kelipatan dari tripel Pythagoras lain.

Bukti matematis bahwa kelipatan tripel Pythagoras merupakn tripel Pythagoras juga:
Misal $a, b, c$ merupakan tripel Pythagoras, dengan $k$ bilangan bulat sembarang. Akan dibuktikan bahwa $ka, kb, kc$ merupakan tripel Pythagoras juga

$$\begin{align*}a^2+b^2&=c^2\\(ka^2)+(kb)^2&=(kc)^2\\k^2a^2+k^2b^2&=k^2c^2\\k^2(a^2+b^2)&=k^2c^2\\a^2+b^2&=c^2\hspace{1cm}\blacksquare\end{align*}$$

Sifat-sifat Bilangan Tripel Pythagoras Dasar

misal $a, b, c$ merupakan pasangan tripel Pythagoras Dasar yg memenuhi $a^2+b^2=c^2$, maka berlaku:

1. $a$ dengan $b$ tidak mungkin keduanya genap.
2. $a$ dengan $b$ tidak mungkin keduanya ganjil.
3.  $c$ adalah bilangan ganjil.


Semoga bermanfaat

$\blacksquare$ Denih Handayani, 15 Agustus 2020.

Sumber:

1. https://www.zenius.net/blog/13381/sejarah-teorema-pythagoras

2. https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Pythagoras

3. https://id.wikipedia.org/wiki/Pythagoras

4. https://bermatematika.net/2020/04/11/tripel-pythagoras/

Rasio Emas (Golden Ratio)

Tahu kah anda, ternyata tubuh manusia tersusun dengan proposi yg tepat, perbandingan yg akurat. Bahkan nilai perbandingan serupa ditemukan pula kepada hal lain, seperti susunan bunga bersama bahkan kepada bangunan piramida. Perbandingan tersebut dikenal sebagai golden ratio.

Apakah Golden Ratio itu?
kolor

Dari segi bahasa Golden Ratio terdiri dari dua kata, yaitu gold yg berarti emas, bersama ratio yang berarti perbandingan. Jadi, secara bahasa golden ratio bisa kita terjemahkan sebagai "perbandingan emas". Eits, tapi tunggu dulu bro, jangan kalian bayangkan emas disini emas dalam arti sebenarnya ya, apalagi berbentuk perhiasan, hehe. Kata "emas" di sini hanya berupa kata kiasan, "golden ratio" (perbandingan emas/rasio emas) menunjukkan bahwa ratio (perbandingan) yg kita bahas saat ini merupakan perbandingan yg berharga, istimewa layaknya emas.  Kenapa berharga? Karena rasio emas ini diyakini sebagai proporsi ideal bersama memiliki nilai estetika tinggi. 

Yang namanya rasio ataupun perbandingan, tentu setidaknya ada dua nilai yg kita bandingkan, lalu perbandingan seperti apakah yg di katakan sebagi golden ratio (rasio emas) itu?

Dua nilai dianggap berada dalam hubungan rasio emas $(\varphi)$ bila rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yg besar sama dengan rasio antara nilai yg besar terhadap nilai yg kecil.

untuk lebih memahaminya perhatikan ilustrasi berikut:

Misal kita mempunyai ruas garis $a$ bersama $b$ dengan $a\gt b\gt 0$ (lihat gambar di bawah):

rasio emas terjadi jika:

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$

Sederhana bukan?

Oh ya, perlu diketahui juga bahwa Golden Ratio (rasio emas) memiliki sebutan lain, diantaranya: sectio aurea (bagian emas),  extreme and mean ratio (rasio ekstrem bersama rata-rata), medial section (bagian tengah), divine proportion (proporsi ilahiah), divine section (Latin: sectio divina), golden proportion (proporsi emas),  golden cut, dan golden number.  Dalam artikel ini, saya atas menggunakan istilah rasio emas.

Secara umum, rasio emas disimbolkan dengan huruf ke-21 dalam abjad Yunani yaitu phi $(\varphi)$ dalam beberapa sumber bro bersama sist mungkin atas menemukan rasio emas ini disimbolkan dalam bentuk tak lazim tau $(\tau)$, tau merupakan salah satu huruf Yunani yg berarti "memotong" namun simbol yg lebih umum adalah $\varphi$. Kenapa secara umum menggunakan huruf $\varphi$? alasannya nanti atas saya jelaskan kepada bagian "Sejarah Golden Ratio" pada artikel ini. Jadi simak baik-baik sampai selesai ya... 😉

Berapakah Nilai dari Rasio Emas?

Jika bro bersama sist dah paham seperti apa rasio emas itu, maka sekarang kita atas mencoba menentukan nilainya.

Dua nilai $a$ bersama $b$ dinyatakan berada dalam rasio emas jika:

$$\varphi=\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$maka:

$$\begin{align*}\frac{a+b}{a}&=\frac{a}{b}\\1+\frac{b}{a}&=\frac{a}{b}\\1+\frac{1}{\varphi}&=\varphi\\\varphi+1&=\varphi^2\\ \varphi^2-\varphi-1&=0\\ \left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}&=0\\ \left(\varphi-\frac{1}{2}\right)^2&=\frac{5}{4}\\ \varphi-\frac{1}{2}&=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\\ \varphi&=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{align*}$$

Karena $\varphi$ merupakan perbandingan, sehingga tidak mungkin nilainya negatif, maka nilai yg memenuhi adalah $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ataupun dalam bentuk desimal $\varphi=1,6180339887\cdots$
Perlu diketahui bahwa $\varphi$ juga merupakan bilangan irasional.

Nilai rasio emas $(\varphi)$ lebih lengkap dalam berbagai bentuk lihat tabel berikut:

Sumber: Wikipedia

Sejarah Golden Ratio

Sebenarnya tidak ada informasi pasti kapan pertama kali angka menakjubkan ini ditemukan bersama mulai dikenal umat manusia. Dari informasi yg saya coba gali, ternyata begitu banyak nama yg terlibat di dalamnya,  bahkan konon katanya rasio emas ini selama 2.400 tahun sedia memikat/menarik perhatian kaum intelektual dari berbagai bidang disiplin ilmu, seperti bidang matematika, fisika, biologi, seni, sejarah, arsitektur, ekonomi, bahkan ahli bidang mistik pun memperdebatkannya. Sungguh luar biasa bukan?

Rasio Emas Digunakan dalam Arsitektur Mesir Kuno bersama Yunani

Rasio Emas kepada Piramida

Banyak orang yg meyakini dalam pembangunan piramida, orang-orang mesir kolor berlalu sudah menggunakan rasio emas dalam disain kontruksi bangunan Piramida, termasuk Partenon di Yunani. 

 

Golden Ratio dalam Parthenon

Phidias (500 SM - 432 SM), merupakan seorang pemahat dari Yunani yg konon menurut sejarah doi selalu menggunakan rasio emas (golden ratio) dalam disain patung-patung yg ia buat, di antaranya pahatan bersama patung kepada Parthenon.

Ditemukannya Deret Fibonacci Pada Sekitar Tahun 1200

Leonardo da Pisa (1170 - 1250) dikenal sebagai Fibonacci, menemukan sifat-sifat tak biasa dari barisan bilangan, yg kini menyandangkan namanya kepada barisan bilangan tersebut (barisan bilangan/deret Fibonacci). Namun tidak angsal dipastikan apakah Fibonacci sendiri menyadari adanya keterkaitan antara barisan bilangan yg ia temukan dengan rasio emas ataupun tidak. Sebagai informasi tambahan, Liber Abaci merupakan karya Fibonacci yg memberikan sumbangan besar dalam matematika.  

Dikenal Sebagai "Rasio Ilahi" Sekitar Tahun 1500

Luca Pacioli (1447 - 1517) seorang matematikawan bersama juga biarawan asal Italia, dalam karyanya De Divina Proportione diduga menjadi orang pertama yg menyebut rasio emas sebagai "rasio ilahi". Di dalam buku tersebut terdapat gambar-gambar ilustrasi hasil karya Leonardo Da Vinci, ada dugaan Davinci merupakan orang pertama yg menyebutkan "sectio aurea" yang berarti "bagian emas" dalam bahasa latin.

Karya Lenardo Da Vinci

Michael Maestin (1550 - 1631) diketahui sebagai orang pertama yg menyatakan rasio emas dalam bentuk desimal.

Johannes Kepler (1571-1630), penemu sifat elips dari  orbit  planet di sekitar matahari, juga menyebutkan "Proporsi Ilahi," serta menyebut rasio emas sebagai "permata berharga".

Dikenal Sebagai "Rasio Emas" Sekitar Tahun 1800

Martin Ohm (1792-1872) diyakini sebagai orang pertama yg menggunakan istilah "Rasio Emas" untuk menggambarkan rasio emas yg termuat dalam bukunya berjudul Die Reine Elementar-Mathematik (Matematika Dasar Murni) yang di terbitkan tahun 1815.  

Simbol phi $( \varphi )$ Digunakan kepada Rasio Emas Sekitar Tahun 1900

Pada tahun 1900, seorang matematikawan Inggris bernama  Mark Barr menggunakan huruf Yunani Phi $( \varphi )$ sebagai simbol dari rasio emas. Phi yg di gunakan bisa huruf kecil $(\varphi)$ bisa juga huruf besar $(\phi)$.

Kenapa Huruf Phi $(\varphi)$ yg "dipilih"?

Alasan kenapa huruf $\varphi$ yg digunakan sebagai simbol dari rasio emas, hal ini berkaitan dengan beberapa orang/tokoh yg terlibat dalam sejarah rasio emas itu sendiri, di antaranya yaitu Phidias dan juga Fibonacci. $\varphi$ merupakan huruf Yunani yg setara dengan "F", jadi huruf $\phi$ mewakili huruf pertama dari Phidias dan juga Fibonacci. $\varphi$ juga merupakan huruf yg berada kepada urutan ke-21 kepada huruf Yunani, bersama 21 termasuk ke dalam deret Fibonacci. Disamping itu, karakter $\varphi$ juga dipercaya memiliki makna teologis yg menarik.

Barisan Bilangan Fibonacci bersama Rasio Emas, Apa Hubungannya?

Mungkin bro bersama sist sudah gak asing dengan barisan bilangan Fibonacci, barisan bilangan yg dimulai dari o bersama 1 kemudian angka berikutnya merupakan jumlah dari dua angka sebelumnya, berikut ini barisan bilangan yg dikenal dengan barisan Fibonacci:
$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$$
Lalu apa hubungannya dengan rasio emas?
Jika kita mecoba membuat rasio (perbandingan) setiap suku kepada barisan Fibonacci dengan suku sebelumnya, ataupun secara matematis kita tulis $\frac{U_n}{U_{n-1}}$, maka kita atas menemukan hasil yg luar biasa, berikut ini hasil yg saya peroleh dengan menggunakan aplikasi Ms. Excel:

Pada perhitungan di atas, saya mengambil tiga angka di belakang koma, perhatikan bilangan yg saya tandai kepada gambar di atas, sungguh menakjubkan, hasilnya ternyata mendekati rasio emas, "mendekati" karena perhitungan di atas merupakan hasil pembulatan.

Rasio Emas dalam Berbagai Bidang
Rasio emas $\varphi=1,618$  selama 2400 tahun sedia menarik perhatian kaum intelektual dari berbagai bidang disiplin ilmu, berikut ini beberapa diantaranya:

Rasio Emas kepada Bidang Biologi
Rasio emas ternyata banyak ditemukan di alam, ini menjadi kajian menarik dalam bidang biologi, perhatikan beberapa gambar berikut ini:

Persegi panjang emas

Rasio Emas kepada keong

Rasio Emas kepada tubuh manusia

Rasio Emas terdapat kepada bunga

Rasio Emas terdapat kepada DNA

Proporsi tangan manusia sesuai rasio emas

kolor
kolor

Rasio Emas Pada Bidang Arsitektur

Berikut ini rasio emas yg terdapat kepada bidang arsitektur

Rasio emas kepada Parthenon

Rasio Emas kepada Bidang Seni

Sejak Abad Renaisans, banyak seniman dan arsitek telah membuat proporsi karya sesuai dengan rasio emas, terutama dalam bentuk persegi emas, yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai rasio emas, dipercaya proporsi ini secara estetika sangat ideal. Sebuah persegi panjang emas angsal dipotong menjadi persegi dan persegi panjang kecil dengan rasio aspek yang sama persis. 

kolor
kolor

Itulah beberapa contoh rasio emas yg terdapat dalam berbagai bidang. 

Tulisan tentang rasio emas (golden ratio) saya sudahi dulu sampai di sini. Semoga bermanfaat.

$\blacksquare$ Denih Handayani, 19 Agustus 2020.

Baca Juga : Fakta-fakta menarik dibalik teorema Pythagoras

Sumber:

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
2. https://www.goldennumber.net/golden-ratio-history/
3. Richard A. Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, Singapore: 1999