Menentukan Luas Segiempat Tali Busur Dengan Formula Brahmagupta

Masih suasana lebaran beserta tentunya masih libur kerja :) jadi masih bisa menyempatkan posting blog... (Kalau udah masuk kerja siap-siap blog ini gak update lagi hehe )

Pada kesempatan kali ini saya bagi membahas tentang Rumus/Formula Brahmagupta... entah kenapa beserta gak tau bisa bisikan dari mana tiba-tiba aja bisa ide untuk  mengulas materi ini.... :)

gerah

Bro/sist masih ingat dengan Rumus Heron? yups, rumus Heron merupakan rumus menentukan luas segitiga andaikata diketahui ketiga sisinya, rumusnya kurang lebih seperti ini: $L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dengan $a, b, c$ ketiga sisi segitiga beserta $s=\frac{a+b+c}{2}$. lho kenapa jadi bahas Rumus Heron? apa hubungannya dengan Rumus Brahmagupta?? Sabar... sabar... masih pembukaan :) 

Jika Bro beserta Sist gak asing dengan Rumus Heron, maka Bro beserta Sist pasti bisa cepat paham beserta hapal rumus Brahmagupta, karena rumus Brahmagupta merupakan pengembangan/perluasan dari rumus Heron. Rumus Brahmagupta merupakan rumus untuk mencari luas segi empat tali busur andaikata diketahui keempat sisinya. Untuk lebih jelas simak baik-baik penjelasan berikut ini

RUMUS/FORMULA BRAHMAGUPTA

Misal diberikan segiempat tali busur $ABCD$ dengan sisi-sisi $a, b, c, d$ seperti dengan gambar berikut ini:

Luas segi empat tali busur $ABCD$  dapat di tentukan sebagai berikut:

$$\boxed{L_{ABCD}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$$

dengan $s=\frac{a+b+c+d}{2}$

PEMBUKTIAN RUMUS/FORMULA BRAHMAGUPTA

Misal kita tarik garis $AC$ seperti dengan gambar berikut ini:

Maka kita peroleh dua buah segitiga yaitu segitiga $ABC$ beserta segitiga $ACD$ dengan luas:

$$L_{ABC}=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B$$

$$L_{ACD}=\frac{1}{2}\times ab\times \sin D$$

Perhatikan bahwa:

$\begin{align*}B+D&=180^\circ\\D&=180^\circ-B\end{align*}$

maka:

$\begin{align*}\sin D&=\sin (180^\circ-B)\\&=\sin B\end{align*}$

Dengan demikian luas segirmpat tali busur $ABCD$ adalah:

$\begin{align*}L_{ABCD}&=L_{ABC}+L_{ACD}\\&=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B+\frac{1}{2}\times ab\times \sin D\\&=\frac{1}{2}\times cd\times \sin B+\frac{1}{2}\times ab\times \sin B\\&=\frac{\sin B\times(ab+cd)}{2}\end{align*}$

Jika kedua ruas kita kali $2$ maka kita peroleh:

$\begin{align*}2L_{ABCD}&=\sin B\times(ab+cd)\\4(L_{ABCD})^{2}&=\sin^{2}{B}\times(ab+cd)^{2}\end{align*}$

substitusikan $\sin^{2}{B}=1-\cos^2{B}$, maka diperoleh:

$\begin{align*}4(L_{ABCD})^{2}&=(1-\cos^{2}{B})\times(ab+cd)^{2}\\4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}\times(ab+cd)^{2}\end{align*}$

Sekarang perhatikan sisi $AC$  pada gambar, berdasarkan aturan cosinus diperoleh:

$$|AC|=a^{2}+b^{2}-2ab\cos D$$

$$|AC|=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B$$

maka:

$$a^{2}+b^{2}-2ab\cos D=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B$$

dengan $\cos B=-\cos D$,  maka kita peroleh

$\begin{align*}a^{2}+b^{2}+2ab\cos B&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos B\\2ab\cos B+2cd\cos B&=c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}\\2\cos B(ab+cd)&=c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}\\4\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}&=(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\ \cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}&=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\end{align*}$

Sekarang kita substitusi $\small\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}$

ke $\small4(L_{ABCD})^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}$ 

maka kita peroleh:

$\small\begin{align*}4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\cos^{2}{B}(ab+cd)^{2}\\4(L_{ABCD})^{2}&=(ab+cd)^{2}-\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\16(L_{ABCD})^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\16(L_{ABCD})^{2}&=(2(ab+cd)+(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2})) (2(ab+cd)-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}))\\16(L_{ABCD})^{2}&=(c^{2}+d^{2}+2cd-a^{2}-b^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}+2ab-c^{2}-d^{2}+2cd)\\16(L_{ABCD})^{2}&=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})\\16(L_{ABCD})^{2}&=(c+d+b-a)(c+d+a-b)(a+b+c-d)(a+b+d-c)\end{align*}$

selanjutnya, kita substitusikan $a+b+c+d=2s$, maka kita peroleh:

$\small\begin{align*}16(L_{ABCD})^{2}&=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)\\16(L_{ABCD})^{2}&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\\(L_{ABCD})^{2}&=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\\L_{ABCD}&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\qquad\blacksquare\end{align*}$

Jika panjang sisi $d=0$ maka bagi kita peroleh Formula Heron.