Menentukan Jumlah Deret Aritmetika Bertingkat

Misalkan ada barisan $u_1, u_2, u_3, \cdots, u_n$ merupakan barisan dengan selisih tidak konstan. tetapi apabila diambil $D_1(n)=S_n-S_{(n-1)}$ lalu $D_2(n)=D_1(n)-D_1(n-1)$ bersama seterusnya sampai kepada suatu saat $D_k(n)=D_{k-1}(n)-D_{k-1}(n-1)$ bernilai konstan. Maka bisa kita ambil kesimpulan bahwa rumus jumlah $n$ suku pertama $S_n$barisan tersebut merupakan polinomial pangkat $k$.

Contoh:
Diketahui barisan 3, 6, 10, 15, 21, ... tentukan jumlah n suku pertama $S_n$ !

Solusi:
Jika kita perhatikan barisan bilangan 3, 6, 10, 15, 21, ... bukanlah merupakan barisan aritmetika karena selisihnya tidak konstan. Namun misalnya kita perhatikan selisihnya sebagai berikut:

atau bisa kita tulis dalam tabel sebagai berikut:

ternyata kepada tingkatan ketiga ataupun kepada tabel $D_3(n)$ selisihnya konstan. maka bisa disimpulkan bahwa jumlah suku ke $n$ ataupun $S_n$ barisan tersebut merupakan polinomial berderajat 3. 

misalkan : 

$S_n=an^3+bn^2+cn+d$

maka kita peroleh:

Dari kedua tabel didapat bahwa:

dari persamaan (1) diperoleh :

dari persamaan (2) diperoleh

dari persamaan (3) diperoleh

dari persamaan ke (4)












maka persamaan jumlah deret tersebut adalah






Jika Anda sudah memahami langkah-langkah menentukan jumlah deret aritmatika bertingkat seperti yg dijelaskan di atas, anda boleh mencoba menyelesaikan soal berikut:

Pembahasannya download disini

Baca juga: Konsep barisan aritmetika bertingkat

Mathsmagic: Multiplication Showing Double Digit Dexterity

Most people can do a speedy multiply by 10. You just add a zero to the end of the number – 23 multiplied by 10 is 230, simple. Now you can prove your superior mental superpowers by speedy multiplication of any two-digit number by 11. You explain to the audience that this is clearly far more difficult. They have the calculators on their mobile phones ready to check, but you do your calculations correctly before they even start to click the keys.

Imagining the 11 times trick

To give us this superpower, we make use of two things. One is maths and the other is the human brain’s power of imagination.

To do a lightning calculation multiplying any two-digit number by 11, you need to use some visual imagery and use your imagination. Let’s take the number 52 for example. Now imagine a space between the two digits, so in your minds eye you imagine 5  2. Add the two numbers together and imagine putting the sum of them in the gap in the middle, so you see 5(5+2)2. And that is it, you have the answer: 11x 2 = 5(7)2= 572.

The double trouble trick

But what if the numbers in the gap add up to a double digit? For example, suppose you want to multiply 98 by 11. So, you imagine 9 (9+8) 8. But that bit in gap in the middle gives you 9+8=17, so where do you put these digits? 9 (17) 8?

Easy, just leave the second number (here the 7) in the gap as before and imagine moving the 1 up a place, so you have (9+1) 7 9 = 10 7 9 = 1079. Correct again.

The maths behind this is fairly easy if you explore it. Suppose you have the number AB (that’s A tens and B ones) and you want to multiply by 11. First you multiply by 10. That’s easy, 10xAB = AB0 (A hundreds, B tens and 0 ones). Then you add another AB so you’ve got 11 lots of AB altogether, giving you A hundreds, (B+A) tens and (0+B) ones.

This is exactly what all that sliding numbers around in your imagination has been doing without knowing it. Of course, if the middle A+B is more than 10 (ie it’s a double digit number), you just slide the first digit up to the hundreds column, and it’s sorted.

Lightning calculations by mind power and a maths trick. Mathematicians make use of their imaginations all the time. Our brains are really good at imagining things and creating pictures in our heads. Often that’s the way we solve tricky problems or come up with clever visual imagination tricks like this one.

panas

Mathsmagic : Multiplication And Addition Doing Fibonacci’S Lightning Calculation

On a piece of paper, write the number 1 to 10 in a column. You are now all set to amaze with the speed at which you can add ten numbers.

Ask your friend to choose any two two-digit numbers and write the numbers down in the first two spaces of your column, one under the other. Your friend then makes a third number by adding these first two numbers together and writes it below the first two, in effect starting a chain of numbers. They make a fourth number by adding the second and third, a fifth by adding the third and fourth, and so on, until your column of ten numbers is full.

To show how brilliant you are, you can turn away once your friend has understood the idea, say after the seventh number in the list. Now you can’t even see the numbers being written.

Meanwhile, with your back turned, you are actually multiplying that seventh number by 11 to get the final answer.

Let’s imagine your friend chose 16 and 21 to start with. The list would look like this:

You now turn round and write the sum of all ten numbers straight away! Lightning quick, you say it is 2728. Let them do it slowly on a calculator to show your brilliant mind skills are 100 per cent correct. The final answer just involves multiplying the seventh number by 11. Why?

Well this chain of numbers where the next term is made by adding the previous two terms is called a Fibonacci sequence. Fibonacci sequences have special mathematical properties that most folk don’t know about…

So let’s look at the trick. We start with the two numbers A and B. The next number is A+B, the next number is B added to A+B which is A+2B and so on. Going through the number chain we find:

  

Adding up all 10 numbers in the chain gives us a grand total of 55A+88B – check it yourself. But look at the seventh number in your column… this line is 5A+8B. It is exactly the total of the chain but divided by 11!

So working backwards, you can get the final total by multiplying the seventh term by 11. And the maths proves this lightning calculation will work for any two starting values A and B.

It is up to you to present this trick in such a way that it looks like you are just very, very clever. Which of course you are, as you now know how to use a Fibonacci sequence for magic.

bergolak

Mathsmagic : Division The Fast Five Trick

Look all around, fives are everywhere. Five fingers, five toes. Now think about division. Divide by 10? Easy you say – just move the decimal point one place to the left. But by 5? Far more of a challenge! Now you can impress your friends with your ability to divide any number by 5 at super speed - and do the calculation correct to three decimal places!

Not a lot of people know this, but dividing a large number by 5 can actually be done by a very simple two-step method.

Step 1 : multiply the number by 2.

Step 2 : move the decimal point.

That’s all there is to it.

Now you can impress you friends with your ability to divide any number by 5 at super speed.

Of course, your claim to do the calculation correct to ‘three decimal places’ is just presentation to make it sound more impressive. It’s really easy. All you do is get the answer, say 23.7, and add two zeros after the 7 to give 23.700. So that’s the answer right to three decimal places as you promised. Our maths proof below will actually show us that we will only ever get an answer with one decimal place. The rest is just magical flim-flam!

It is always a good idea to start easy with a simple example to test our method works so let’s look at 10 divided by 5. First, our method says we double the number, so doubling 10 we get 20. Then we shift the decimal point, so 20 now becomes 2.0 or 2. The answer’s correct. Good start.

Now for a harder example, say 190 divided by 5 . This looks tough without a calculator, but following our method, step [1], double 190 to get 380, and step [2], move the decimal point, so 380 becomes 38.0 or just plain old 38.

Harder still: how about 4567 divided by 5. Again, step [1], double the number, so we have 4567 x 2 = 9134. Then step [2], shift the decimal point to get 913.4. It’s correct - check with a calculator if you don’t believe it.

And lets get silly: 123456789 divided by 5. Step [1], double it, so 2 x 123456789 = 246913578. Step [2], shift the decimal point and the answer is 24691357.8. (You may really want to check this on a calculator!) kering

Menentukan Banyaknya Faktor Positif Suatu Bilangan Asli

Misalnya kita mau menentukan banyaknya faktor positif dari 180 mungkin cara/ide yg terlintas di fikiran kita adalah dengan cara mendaftar bahwa faktor positif dari 180 adalah  1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180. dari daftar tersebut kita bisa melihat ternyata banyaknya faktor positif dari 180 adalah 18 faktor. Cara ini tidak salah, namun kurang efisien karena mau memakan waktu yg lebih lama bersama tentu memiliki tingkat kekeliruan yg lebih tinggi (beresiko ada faktor yg terlewat saat mendaftar).

Baiklah, sekarang kita mau gunakan cara yg lain. Jika kita perhatikan faktorisasi prima dari 180 yaitu maka kita beroleh menyatakan setiap faktor tersebut dalam bentuk  dengan a = 0, 1, 2 , b = 0, 1, 2 dan c = 0, 1.  Selanjutnya, kita gunakan aturan perkalian.

Dari faktorisasi prima di atas, kita beroleh melihat bahwa untuk menentukan banyaknya faktor positif dari 180  dapat dilakukan dengan tiga langkah :

pertama, memilih pangkat dari 2 beroleh dilakukan dengan 3 cara

kedua, memilih pangkat dari 3 beroleh dilakukan dengan 3 cara

ketiga, memilih pangkat dari 5 beroleh dilakukan dengan 2 cara

sehingga dengan aturan perkalian, banyaknya faktor positif dari 180 adalah .

Cara menghitung banyaknya faktor positif dari sembarang bilangan asli n dapat kita perumum sebagai berikut:

Contoh:

1. Tentukan banyaknya faktor positif dari 12.600
2. Tentukan banyaknya faktor positif genap dari 12.600
3. Tentukan banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600

Jawab:

1. Kita beroleh melihat bahwa faktorisasi prima dari 12.600 adalah 
, jadi banyaknya faktor positif dari 12.600 adalah :

2. Faktor positif genap dari 12.600 beroleh di nyatakan sebagai  dengan a = 1, 2, 3, b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif genap dari 12.600 adalah:

3. Banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah banyaknya semua faktor positif dikurangi banyaknya faktor positif genap. Jadi, banyaknya faktor positif ganjil adalah :

cara lain adalah dengan menghitung banyaknya kemungkinan bentuk  dengan a = 0,  b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah :

Mohon koreksi jikalau ada kekeliruan (silahkan isi komentar). Semoga bermanfaat

Baca juga : Cara menentukan jumlah semua faktor positif suatu bilangan

Menentukan Jumlah Semua Faktor Positif Suatu Bilangan

Setelah kemarin cara menentukan banyaknya faktor bulat positif suatu bilangan asli maka dengan kesempatan ini MATH-LAB akan berbagi cara menentukan Jumlah semua faktor bulat positif suatu bilangan asli.

dedar

Misalnya kita bakal menentukan jumlah semua faktor positif dari 48, 

faktor-faktor positif dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 maka jumlah semua faktor bulat positifnya adalah: 

Jika bilangannya kecil kita bisa menghitungnya secara manual, maksudnya dengan cara mendaftar kemudian menjumlahkannya, lalu klo angkanya besar? nah itu bakal jadi masalah :)

Baiklah, langsung saja MATH-LAB akan berbagi cara lain yang tentunya lebih efektif bersama efisien untuk menentukan jumlah semua faktor bulat positif semua bilangan, inilah formula yg bakal kita gunakan, perhatikan bersama ingat baik-baik :

Sekarang kita coba selesaikan soal yg tadi menggunakan formula di atas:

Faktorisasi prima dari 48 adalah , maka jumlah semua faktor bulat positif dari 48 adalah:

Bisa dilihat hasil yg kita peroleh sama dengan hasil perhitungan dengan cara sebelumnya.

Sekarang kita coba untuk menentukan jumlah semua faktor positif dari 12.600.

dari pembahasan sebelumnya disini kita sudah pernah mengetahui bahwa 12.600 memiliki sebanyak 72 faktor positif. 

Faktosisasi prima dari 12.600 adalah , maka jumlah semua faktor positif dari 12.600 adalah

Gampang Kan?!

Oke dengan kesempatan kali ini itu saja yang MATH-LAB bagikan, kritik saran maupun koreksi silahkan isi komentar maupun email ke : denih.handayani@gmail.com

Memecahkan Masalah Perhitungan Bilangan Digit Berulang (Rep-Digit)

Pada kesempatan kali ini kita bagi belajar bagaimana cara menyelesaikan perhitungan bilangan digit berulang, misalnya 1111, 22222222, 555555555555, 7777777777777777 dengan sebagainya.  Dalam bahasa inggris bilangan yg terdiri dari bilangan asli yg berulang disebut rep-digit yang berasal dari kata "Repeated Digit". 

Contoh soal perhitungan yg bagi kita bahas dengan kesempatan kali ini:

Sebelum kita selesaikan soal di atas, perhatikan dengan pahami dulu pola bilangan digit berulang  berikut:

Bisa menemukan polanya?

Dari pola di atas, kita bisa melihat bahwa nilai pangkat dari 10 dengan ruas kiri sama dengan banyaknya pengulangan angka 9 dengan ruas kanan,  atau secara umum bisa kita tulis:

Lalu bagaimana lamun soal yg bagi kita pecahkan digit berulangnya bukan angka 9?... oke sekarang kita ubah bentuk di atas supaya lebih umum bisa kita gunakan untuk berbagai bilangan:

Kemudian kedua ruas kita kalikan dengan a , maka kita peroleh:

jadi, 

Bentuk umum di atas kita jadikan dasar untuk menyelesaikan masalah-masalah perhitungan digit berulang.

Sekarang kita sudah siap untuk menjawab soal yg tadi, 

JAWAB:

Itu hanya dasarnya saja, untuk selebihnya silahkan dikembangkan sendiri. untuk latihan, sahabat-sahabat bisa coba soal berikut:

Mohon maaf lamun ada kekeliruan. Kritik, saran ataupun koreksi silahkan isi kolom komentar ataupun email : denih.handayani@gmail.com

Terimakasih, semoga bermanfaat

kolor