Bukti Teorema Ptolemy

Tulisan kali ini masih berkaitan dengan tulisan sebelumnya, masih tentang segiempat talibusur (cyclic quadrilateral), dengan tulisan sebelumnya kita sudah membuktikan Formula Brahmagupta sementara dengan kesempatan kali ini kita bagi membuktikan Teorema Ptolemy. 

Teorema Ptolemy ini sangat umum digunakan untuk mencari panjang sisi segiempat talibusur ataupun diagonal dari segiempat tali busur. Beginilah bunyi teorema tersebut:

Misal diketahui segiempat tali busur $ABCD$ seperti dengan gambar di bawah ini:

Teorema Ptolemy mengatakan bahwa hasil kali diagonal sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yg bersebrangan, ataupun beroleh di tulis sebagai berikut:

$$\boxed{BD\times AC=CD\times AB+AD \times BC}$$

atau

$$\boxed{m\times n=ac+bd}$$

BUKTI TEOREMA PTOLEMY (Dengan Aturan Cosinus)

Perhatikan segitiga $ABC$, berdasarkan aturan cosinus kita peroleh:
$n^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}\hspace{2cm}(1)$

Perhatikan segitiga $ACD$, berdasarkan aturan cosinus kita peroleh:

$\begin{align*}n^{2}&= a^{2}+b^{2}-2ab\cos {(180^\circ-\alpha)}\\&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha\hspace{2cm}(2)\end{align*}$

gerah dari persamaan $(1)$ beserta $(2)$ kita peroleh:

$\begin{align*}c^{2}+d^{2}-2cd\cos{\alpha}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{\alpha}\\c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}&=2(ab+cd)\cos{\alpha}\\ \cos{\alpha}&=\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\hspace{2cm}(3)\end{align*}$

Sekarang kita substitusi persamaan $(3)$ ke persamaan $(1)$:

$\begin{align*}n^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}\\&=c^{2}+d^{2}-(\frac{c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2}}{ab+cd})\\&=\frac{(c^{2}+d^{2})(ab+cd)-(c^{3}d+cd^{3}-cda^{2}-cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+c^{3}d+abd^{2}+cd^{3}-c^{3}d-cd^{3}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{abc^{2}+abd^{2}+cda^{2}+cdb^{2}}{ab+cd}\\&=\frac{(cda^{2}+abc^{2})+(abd^{2}+cdb^{2})}{ab+cd}\\&=\frac{ac(ad+bc)+bd(ad+bc)}{ab+cd}\\&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\hspace{2cm}(4)\end{align*}$

Perhatikan segitiga $ABD$, berdasarkan aturan cosinus, diperoleh:
$m^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}\hspace{2cm}(5)$

Perhatikan segitiga $BCD$, berdasarkan aturan cosinus, diperoleh:
$\begin{align*}m^2&=a^{2}+d^{2}-2ad\cos{(180^\circ-\beta)}\\&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\hspace{2cm}(6)\end{align*}$

dari persamaan $(5)$ beserta $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align*}b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\beta}&=a^{2}+d^{2}+2ad\cos{\beta}\\b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}&=2(ad+bc) \cos{\beta}\\  \cos{\beta}&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)}\hspace{2cm}(7)\end{align*}$

Substitusi persamaan $(7)$ ke persamaan $(5)$:
$\begin{align*}m^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{2(ad+bc)})\\&=b^{2}+c^{2}-( \frac{b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2}}{ad+bc})\\&=\frac{(b^{2}+c^{2})(ad+bc)-(b^{3}c+bc^{3}-a^{2}bc-bcd^{2})}{ad+bc} \\&=\frac{b^{3}c+ab^{2}d+bc^{3}+ac^{2}d-b^{3}c-bc^{3}+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{ab^{2}d+ac^{2}d+a^{2}bc+bcd^{2}}{ad+bc}\\&=\frac{(a^{2}bc+ac^ab^{2}d)(ac^{2}d+bcd^{2})}{ad+bc}\\&=\frac{ab(ac+bd)+cd(ac+bd)}{ad+bc}\\&=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\hspace{2cm}(8)\end{align*}$

dari persamaan $(4)$ beserta $(8)$ kita peroleh:
$\begin{align*}n^{2}\times m^{2}&=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}\times \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\\(nm)^{2}&=(ac+bd)^{2}\\nm&=ac+bd\hspace{2cm}\blacksquare\end{align*}$

gerah