Kumpulan\Rangkuman Rumus Trigonometri Lengkap

kering

Pada postingan kali ini saya bakal mencoba merangkum rumus-rumus trigonometri, jadi dengan postingan ini pembahasan materi tidak begitu terperinci, bersama tidak disertai dengan contoh, hanya berisi rangkuman rumus trigonometri sebagai "pegangan", mengingat rumus-rumus ini seringkali kita gunakan dalam berbagai bab/materi seperti turunan trigonometri, limit trigonometri, integral trigonometri, bersama sebagainya.

Pengukuran sudut dengan derajat bersama radian

Ada dua jenis satuan pengukuran sudut yaitu derajat bersama radian. Derajat dinotasikan dengan $^\circ$. Satu derajat $=\frac{1}{360}$ sudut satu putaran, ataupun dengan kata lain :
$$\text{Satu putaran}=360^\circ$$
Sedangkan satu radian $=\frac{180^\circ}{\pi}$ ataupun dengan kata lain:
$$\pi\space\text{radian}=180^\circ$$
Umumnya dalam pengukuran sudut yg dinyatakan dengan satuan radian hanya ditulis $\pi$ saja, misal $\alpha=\frac{1}{3}\pi$ radian $=\frac{1}{3}\pi=60^\circ$

Perbandingan Trigonometri dengan Segitiga Siku-siku

Perhatikan segitiga berikut:

Pada segitiga tersebut berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut:

$\sin{A}=\frac{a}{c}$

$\cos{A}=\frac{b}{c}$

$\tan{A}=\frac{a}{b}$

$\csc{A}=\frac{1}{\sin{A}}=\frac{c}{a}$

$\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}=\frac{c}{b}$

$\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}=\frac{b}{a}$

Nilai Trigonometri Sudut Istimewa

Berikut ini nilai trigonometri sudut-sudut istimewa dengan kuadran I:

kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$
$\csc \alpha$	$-$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$1$
$\sec \alpha$	$1$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$-$
$\cot \alpha$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$0$

Identitas Trigonomteri

Berdasarkan definisi trigonometri, bisa diperoleh rumus-rumus identitas trigonometri sebagai berikut:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha}$

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}=\frac {\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$\sec \alpha =\frac {1}{\cos \alpha}$

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}$

$\sin ^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

$\tan ^2 \alpha +1=\sec^2 \alpha$

$\cot^2\alpha+1=\csc^2\alpha$

Sudut-sudut Berelasi

kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering kering

Rumus-rumus sudut berelasi dalam trigonometri
Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. ganjil	Pola $(k.90\pm\alpha)$ dengan $k$ bil. genap
$\sin (90^\circ -\alpha )=\cos{\alpha}$ $\cos (90^\circ -\alpha)=\sin {\alpha}$ $\tan (90^\circ -\alpha)=\cot \alpha$ $\sin (90^\circ +\alpha )=\cos{\alpha}$ $\cos (90^\circ +\alpha)=-\sin {\alpha}$ $\tan (90^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$ $\sin (270^\circ -\alpha )=-\cos{\alpha}$ $\cos (270^\circ -\alpha)=-\sin {\alpha}$ $\tan (270^\circ -\alpha)=\cot \alpha$ $\sin (270^\circ +\alpha )=-\cos{\alpha}$ $\cos (270^\circ +\alpha)=\sin {\alpha}$ $\tan (270^\circ +\alpha)=-\cot \alpha$	$\sin (180^\circ - \alpha)=\sin \alpha$ $\cos (180^\circ - \alpha)=-\cos\alpha$ $\tan (180^\circ - \alpha)=-\tan\alpha$ $\sin (180^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$ $\cos (180^\circ + \alpha)=-\cos\alpha$ $\tan (180^\circ + \alpha)=\tan\alpha$ $\sin (360^\circ + \alpha)=-\sin \alpha$ $\cos (360^\circ + \alpha)=\cos\alpha$ $\tan (360^\circ + \alpha)=-\tan\alpha$
Pola
$\sin \Rightarrow \cos$ $\cos \Rightarrow \sin$ $\tan \Rightarrow \cot$	$\sin \Rightarrow \sin$ $\cos \Rightarrow \cos$ $\tan \Rightarrow \tan$
Tanda $+$ bersama $-$ berdasarkan letak kuadrannya

Trigonometri untuk Penjumlahan Sudut

Berikut ini rumus-rumus trigonometri untuk penjumlahan bersama pengurangan sudut:

$\sin {(A+B)}=\sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin {(A-B)}=\sin A \cos B - \cos A \sin B$

$cos {(A+B)}=\cos A \cos B -\sin A \sin B$

$\cos {(A-B)}=\cos A \cos B + \sin A \sin B$

$\tan (A+B)=\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B}$

$\tan (A-B)=\frac{\tan A -\tan B}{1+\tan A \tan B}$

Trigonometri Sudut Rangkap Dua

Sudut rangkap merupakan penjumlahan dua sudut yg sama, misalnya $2A=A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap dua diberikan sebagai berikut:

$\sin 2A=2 \sin A \cos A$

$\begin{align*}\cos 2A&=\cos^2A-\sin^2 A\\&=2\cos^2A-1\\&=1-2\sin^2A\end{align*}$

$\begin{align*}\tan 2A&=\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}\\&=\frac{2\cot{A}}{\cot^2{A}-1}\\&=\frac{2}{\cot{A}-\tan{A}}\end{align*}$

Trigonometri Sudut Rangkap Tiga

Sudut rangkap merupakan penjumlahan tiga sudut yg sama, misalnya $3A=A+A+A$. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap tiga diberikan sebagai berikut:

$\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}$

$\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}$

Rumus Setengah Sudut

Berikut ini rumus trigonometri setengah sudut:
$\sin{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}$

$\cos{\frac{1}{2}A}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}$

$\begin{align*}\tan{\frac{1}{2}A}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{1+\cos{A}}}\\&=\frac{\sin{A}}{1+\cos{A}}\\&=\frac{1-\cos{A}}{\sin{A}}\end{align*}$

Rumus-rumus Penjumlahan Trigonometri

Berikut ini rumus-rumus penjumlahan dalam trigonometri:

$\sin A +\sin B=2\sin \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\sin A -\sin B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A+\cos B=2\cos \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$

$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$

Rumus-rumus Perkalian Trigonometri

Berikut ini rumus-rumus perkalian dalam trigonometri:

$2\sin{A}\cos{A}=\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}$

$2\cos{A}\cos{B}=\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}$

$-2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}-\cos{(A-B)}$


kering
kering

Persamaan Trigonometri

Berikut ini bentuk persamaan trigonometri beserta penyelesaiannya

kering kering kering kering kering kering kering

Persamaan	Penyelesaian
$\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$	$x=a^\circ+k\times360^\circ$ ataupun $x=(180-a)^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$

Aturan Trigonometri dalam Segitiga

Dalam suatu segitiga sembarang bisa dirumuskan beberapa aturan trigonometri, aturan tersebut berkaitan dengan panjang sisi bersama besar sudut segitiga. berikut ini disajikan rumusan beberapa aturan tersebut:

1. Aturan sinus
Pada segitiga $ABC$ berlaku:
$\frac{A}{\sin A}=\frac{B}{\sin B}=\frac{C}{\sin C}$

2. Aturan cosinus
pada segitiga $ABC$ berlaku:
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac \cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

3. Luas segitiga
Luas segitiga $ABC$:
$L=\frac{1}{2}bc \sin A$
$L=\frac{1}{2}ab \sin C$
$L=\frac{1}{2}ac \sin B$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 Agustus 2020