Turunan Fungsi Aljabar

Materi tentang turunan (diferensial) saya rasa sangat penting untuk dipelajari, karena materi ini bisa sangat membantu ataupun mempermudah materi lain, seperti dalam penyelesaian limit, nilai maksimum ataupun minimum, puncak fungsi kuadrat, masalah gradien beserta sebagainya. 

A. Definisi Turunan Fungsi

Misalnya $y$ adalah suatu fungsi dari $x$ ataupun $y=f(x)$, turunan fungsi $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ ataupun $y'$ ataupun $f'(x)$ beserta didefinisikan sebagai berikut: $$\boxed{f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Contoh:

Dengan menggunakan definisi $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}$, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:

a. $f(x)=5$

b. $f(x)=x$

c. $f(x)=x^2$

d. $f(x)=x^3$

Jawab:

a. $f(x)=5$

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{5-5}{h}}=0$

b. $f(x)=x$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}\\&=1\end{align*}$

c. $f(x)=x^2$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}2x+h\\&=2x\end{align*}$

d. $f(x)=x^3$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}3x^2+3xh+h^2\\&=3x^2\end{align*}$

B. Turunan Fungsi Aljabar

Perhatikan kembali contoh soal di atas, jadi contoh tersebut kita peroleh kesimpulan:

1. Jika $f(x)=k$, maka $f'(x)=0$
2. Jika $f(x)=x$, maka $f'(x)=1$
3. Jika $f(x)=x^2$, maka $f'(x)=2x$
4. Jika$f(x)=x^3$, maka $f'(x)=3x^2$
5. dst

Dari pola terebut, kita menentukan rumus turunan sebagai berikut:
$$\boxed{f(x)=ax^n\Rightarrow f'(x)=an x^{n-1}}$$
Contoh soal:
Dengan menggunakan rumus, tentukan turunan fungsi berikut:
a. $f(x)=4x^3$
b. $f(x)=3x^5+2x^2+3x+2$
c. $f(x)=\frac{3}{x^4}$
d. $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

Jawab:
$\begin{align*}\text{a.}\space f(x)&=4x^3\\f'(x)&=12x^2\end{align*}$

untuk menjawab soal bagian b, perhatikan dulu ketentuan berikut:
Jika $g$ beserta $h$ adalah fungsi-fungsi dari $x$ yg bisa diturunkan, beserta seumpama $f(x)=g(x)\pm h(x)$, maka: $f'(x)=g'(x)\pm h'(x)$. Dengan kata lain, seumpama suatu fungsi merupakan penjumlahan ataupun pengurangan dari beberapa suku, maka turunan fungsi tersebut juga merupakan penjumlahan ataupun pengurangan dari turunan suku-sukunya.

$\begin{align*}\text{b.}\space f(x)&=3x^5+2x^2+3x+2\\f'(x)&=15x^4+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*}\text{c.}\space f(x)&=\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\\f'(x)&=-12x^{-5}=-\frac{12}{x^5}\end{align*}$

$\begin{align*}\text{d.}\space f(x)&=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\\f'(x)&=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}\end{align*}$

C. Turunan Fungsi Majemuk

Jika U beserta V fungsi-fungsi dari $x$ yg bisa diturunkan beserta seumpama $f(x)=U(x).V(x)$, maka:

$f'(x)=U'(x).V(x)+U(x).V'(x)$

Contoh:
Tentukan turunan dari $f(x)=(x^2-2x)(2x^2+3x)$

Jawab:

Misal 
$U=x^2-2x\Rightarrow U'=2x-2$
$V=2x^2+3x\Rightarrow V'=4x+3$

$\begin{align*}f'(x)&=U'V+UV'\\&=(2x-2)(2x^2+3x)+(x^2-2x)(4x+3)\\&=4x^3+2x^2-6x+4x^3-5x^2-6x\\&=8x^3-3x^2-12x\end{align*}$

Jika U beserta V fungsi-fungsi dari $x$ yg bisa diturunkan beserta seumpama $f(x)=\frac{U(x)}{V(x)}$, maka:

$f'(x)=\frac{U'(x).V(x)-U(x).V'(x)}{[V(x)]^2}$

Contoh:
Tentukan turunan dari fungsi $f(x)=\frac{2x+1}{3x-2}$

Jawab:

Misal
$U=2x+1\Rightarrow U'=2$
$V=3x-2\Rightarrow V'=3$

$\begin{align*}f'(x)&=\frac{U'V-UV'}{V^2}\\&=\frac{2(3x-2)-(2x+1)3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{6x-4-6x-3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{-7}{(3x-2)^2}\end{align*}$

Jika U merupakan fungsi dari $x$ yg bisa diturunkan beserta seumpama $f(x)=U(x)^n$, maka:

$f'(x)=n. U(x)^{n-1}. U'(x)$

Contoh:

Tentukan turunan dari $f(x)=(5x^2+3)^7$

Jawab:

Misal: $U=5x^2+3\Rightarrow U'=10x$

$\begin{align*}f'(x)&=7(5x^2+3)^6.10x\\&=70x(5x^2+3^6)\end{align*}$

kering