Pada tulisan ini saya mau mencoba membahas materi lingkaran secara lengkap, berikut contoh soal dengan pembahasannya, jadi kalian datang ke blog yg tepat :)
Menentukan Persamaan Lingkaran
Mari kita pahami dulu definisi dari lingkaran sebagai berikut:
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik dengan bidang yang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut sebagai jari-jari lingkaran.
Mari kita pahami dulu definisi dari lingkaran sebagai berikut:
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik dengan bidang yang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut sebagai jari-jari lingkaran.
Sekarang, perhatikan gambar berikut:
$$\begin{align*}PA&=r\\ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}&=r\\(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\end{align*}$$
Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ kita sebut saja sebagai bentuk baku lingkaran.
Bentuk baku tersebut yg mau kita gunakan untuk menentukan persamaan lingkaran. Jadi, untuk menentukan persamaan lingkaran ada dua unsur yg wajib kita cari, yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran, selanjutnya kita substitusikan terhadap bentuk baku lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yg berpusat di $(3, 4)$ dengan berjari-jari $5$.
Jawab:
Untuk soal jenis ini, titik pusat dengan jari-jari lingkaran sudah diketahui, jadi untuk menentukan persamaan lingkaran, kita hanya perlu mensubstitusikan titik pusat dengan jari-jari lingkaran dengan bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Untuk soal jenis ini, titik pusat dengan jari-jari lingkaran sudah diketahui, jadi untuk menentukan persamaan lingkaran, kita hanya perlu mensubstitusikan titik pusat dengan jari-jari lingkaran dengan bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=5^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+64&=5^2\\x^2+y^2-6x-8y+73&=25\\x^2+y^2-6x-8y+48&=0\end{align*}$
Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yg berpusat di $(2, 3)$ dengan melalui titik $(5, -1)$.
Jawab:
Beda dengan contoh 1, dengan contoh 2 ini titik jari-jari lingkaran belum diketahui, jadi untuk menentukan persamaan lingkaran kita harus mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu:
menentukan jari-jari lingkaran:
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-2)^2+(y-3)^2&=r^2\end{align*}$
Karena lingkaran melalui $(5, -1)$, maka substitusikan $x=5$ dengan $y=-1$ dengan persamaan di atas:
$\begin{align*}(5-2)^2+(-1-3)^2&=r^2\\3^2+(-4)^2&=r^2\\9+16&=r^2\\25&=r^2\\r&=\sqrt{25}\\r&=5\end{align*}$
Setelah kita memperoleh jari-jari dengan pusat lingkaran, selanjutnya substitusikan dengan bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y-3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2-6y+9&=25\\x^2+y^2-4x-6y+13&=25\\x^2+y^2-4x-6y-12&=0\end{align*}$
Contoh 3:
Jika diketahui titik $A(8, 4)$ dengan $B(2, 4)$, Tentukan persamaan lingkaran yg melalui titik $A$ dengan $B$ dengan berdiameter $AB$.
Jawab:
Terlebih kolor silam kita tentukan titik pusat dengan jari-jari lingkaran:
Titik Pusat:
Pusat $=\left(\frac{8+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(5,4)$
Jari-jari Lingkaran:
Jari-jari lingkaran merupakan jarak setiap titik dengan sisi lingkaran terhadap pusat, dalam pembahasan ini saya mau menggunakan jarak titik $A(8,4)$ terhadap pusat $P(5,4)$.
$\begin{align*}r=AP&=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}\\&=\sqrt{4^2}\\&=4\end{align*}$
Selanjutnya, kita tinggal substitusikan jari-jari dengan titik pusat dengan bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-5)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-10x+25+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-10x-8y+25&=0\end{align*}$
Contoh 4:
Tentukan persamaan lingkaran yg berpusat di $(3, 4)$ dengan menyinggung sumbu $x$
Jawab:
Contoh 5:
Tentukan persamaan lingkaran yg berpusat di titik $P(2, -3)$ dengan menyinggung garis $3x-4y+7=0$
Jawab:
Pada soal jenis ini, pusat lingkaran sudah diketahui, namun jari-jari belum diketahui, untuk itu kita harus mencari dulu jari-jari lingkaran tersebut. Caranya, kita gunakan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:
Misal kita mau mencari jarak titik $A(x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By+C=0$, jarak titik ke garis tersebut adalah
$$r=\left|\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
jadi, jari-jari lingkaran tersebut bisa kita peroleh dengan mencari jarak titik pusat ke garis singgung:
$\begin{align*}r&=\left|\frac{3(2)+(-4)(-3)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\&=\left|\frac{6+12+7}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\&=\left|\frac{25}{5}\right|\\&=5\end{align*}$
selanjutnya, substitusikan pusat $(2,-3)$ dengan jari-jari $r=5$ dengan bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y+3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2+6y+9&=25\\x^2+y^2-4x+6y-12&=0\end{align*}$
Menentukan Titik Pusat dengan Jari-jari Lingkaran
Jika kalian sudah paham cara mencari persamaan lingkaran, sekarang kita mau belajar bagaimana cara menentukan titik pusat dengan jari-jari. Masih ingat "bentuk baku lingkaran" yg tadi sedia kita pelajari? sekarang mari kita uraikan bentuk tersebut sehingga kita peroleh bentuk umum lingkaran:
$$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+c^2&=r^2\\x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)&=0\end{align*}$$
Bentuk di atas bisa kita tulis:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
dengan:
$A=-2a$
$B=-2b$
$C=a^2+b^2-r^2$
Cara menentukan pusat dengan jari-jari lingkaran:
Pusat lingkaran $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$
Jarti-jari lingkaran $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$
Contoh 6:
Tentukan titik pusat dengan jari-jari lingkaran:
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$
Jawab:
Trik kolor ringan menentukan titik pusat adalah cukup dengan melihat koefisien variabel $x$ dengan $y$, lalu kita bagi dengan $-2$. Pada soal di atas, koefisien variabel $x$ dengan $y$ adalah $4$ dengan $-6$, jikalau kita bagi dengan $-2$ maka kita peroleh $-2$ dengan $3$. itulah titik pusat lingkaran tersebut.
Titik Pusat : $(-2, 3)$
Jika titik pusat sedia kita dapatkan, cara menentukan jari-jari, kita tinggal substitusikan titik pusat tersebut ke formula $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$. Pada soal di atas kita tau bahwa $a=-2$, $b=3$, dengan $C=-12$, maka:
$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)}\\&=\sqrt{4+9+12}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$
Contoh 7:
Titik $(a, b)$ adalah pusat lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, tentukan nilai $2a+b$
Jawab:
dengan menggunakan cara seperti contoh 6, kita peroleh $a=1, b=-2$, maka $2a+b=2(1)+(-2)=0$
Contoh 8:
Agar lingkaran $x^2+y^2+4x-6y+C=0$ memiliki panjang jari-jari $5$, tentukan nilai $C$
Jawab:
dari persamaan tersebut kita peroleh pusat $(-2, 3)$, maka:
$\begin{align*}C&=a^2+b^2-r^2\\&=(-2)^2+3^2-5^2\\&=4+9-25\\&=-12\end{align*}$
Baiklah, sementara itu dulu yg bisa saya share dengan kesempatan kali ini. Jika belum paham, baca ulang, pelajari ulang dengan pahami contoh soal dengan pembahasan yg sudah saya berikan. Selanjutnya, kita mau belajar cara menentukan garis singgung lingkaran dengan posting berikutnya.
Semoga bermanfaat.
$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 September 2020
kolor Jawab:
Terlebih kolor silam kita tentukan titik pusat dengan jari-jari lingkaran:
Titik Pusat:
Pusat $=\left(\frac{8+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(5,4)$
Jari-jari Lingkaran:
Jari-jari lingkaran merupakan jarak setiap titik dengan sisi lingkaran terhadap pusat, dalam pembahasan ini saya mau menggunakan jarak titik $A(8,4)$ terhadap pusat $P(5,4)$.
$\begin{align*}r=AP&=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}\\&=\sqrt{4^2}\\&=4\end{align*}$
Selanjutnya, kita tinggal substitusikan jari-jari dengan titik pusat dengan bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-5)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-10x+25+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-10x-8y+25&=0\end{align*}$
Contoh 4:
Tentukan persamaan lingkaran yg berpusat di $(3, 4)$ dengan menyinggung sumbu $x$
Jawab:
Dari gambar, kita beroleh melihat bahwa jari-jari lingkaran adalah $4$ dengan pusat $(3, 4)$, maka persamaan lingkarannya adalah:
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-6x-8y+9&=0\end{align*}$
Contoh 5:
Tentukan persamaan lingkaran yg berpusat di titik $P(2, -3)$ dengan menyinggung garis $3x-4y+7=0$
Jawab:
Pada soal jenis ini, pusat lingkaran sudah diketahui, namun jari-jari belum diketahui, untuk itu kita harus mencari dulu jari-jari lingkaran tersebut. Caranya, kita gunakan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:
Misal kita mau mencari jarak titik $A(x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By+C=0$, jarak titik ke garis tersebut adalah
$$r=\left|\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
jadi, jari-jari lingkaran tersebut bisa kita peroleh dengan mencari jarak titik pusat ke garis singgung:
$\begin{align*}r&=\left|\frac{3(2)+(-4)(-3)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\&=\left|\frac{6+12+7}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\&=\left|\frac{25}{5}\right|\\&=5\end{align*}$
selanjutnya, substitusikan pusat $(2,-3)$ dengan jari-jari $r=5$ dengan bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y+3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2+6y+9&=25\\x^2+y^2-4x+6y-12&=0\end{align*}$
Menentukan Titik Pusat dengan Jari-jari Lingkaran
Jika kalian sudah paham cara mencari persamaan lingkaran, sekarang kita mau belajar bagaimana cara menentukan titik pusat dengan jari-jari. Masih ingat "bentuk baku lingkaran" yg tadi sedia kita pelajari? sekarang mari kita uraikan bentuk tersebut sehingga kita peroleh bentuk umum lingkaran:
$$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+c^2&=r^2\\x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)&=0\end{align*}$$
Bentuk di atas bisa kita tulis:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
dengan:
$A=-2a$
$B=-2b$
$C=a^2+b^2-r^2$
Cara menentukan pusat dengan jari-jari lingkaran:
Pusat lingkaran $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$
Jarti-jari lingkaran $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$
Contoh 6:
Tentukan titik pusat dengan jari-jari lingkaran:
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$
Jawab:
Trik kolor ringan menentukan titik pusat adalah cukup dengan melihat koefisien variabel $x$ dengan $y$, lalu kita bagi dengan $-2$. Pada soal di atas, koefisien variabel $x$ dengan $y$ adalah $4$ dengan $-6$, jikalau kita bagi dengan $-2$ maka kita peroleh $-2$ dengan $3$. itulah titik pusat lingkaran tersebut.
Titik Pusat : $(-2, 3)$
Jika titik pusat sedia kita dapatkan, cara menentukan jari-jari, kita tinggal substitusikan titik pusat tersebut ke formula $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$. Pada soal di atas kita tau bahwa $a=-2$, $b=3$, dengan $C=-12$, maka:
$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)}\\&=\sqrt{4+9+12}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$
Contoh 7:
Titik $(a, b)$ adalah pusat lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, tentukan nilai $2a+b$
Jawab:
dengan menggunakan cara seperti contoh 6, kita peroleh $a=1, b=-2$, maka $2a+b=2(1)+(-2)=0$
Contoh 8:
Agar lingkaran $x^2+y^2+4x-6y+C=0$ memiliki panjang jari-jari $5$, tentukan nilai $C$
Jawab:
dari persamaan tersebut kita peroleh pusat $(-2, 3)$, maka:
$\begin{align*}C&=a^2+b^2-r^2\\&=(-2)^2+3^2-5^2\\&=4+9-25\\&=-12\end{align*}$
Baiklah, sementara itu dulu yg bisa saya share dengan kesempatan kali ini. Jika belum paham, baca ulang, pelajari ulang dengan pahami contoh soal dengan pembahasan yg sudah saya berikan. Selanjutnya, kita mau belajar cara menentukan garis singgung lingkaran dengan posting berikutnya.
Semoga bermanfaat.
$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 September 2020
Tidak ada komentar:
Posting Komentar