Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Tanpa Rumus

bahang

Pada kesempatan kali ini saya hendak berbagi bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri tanpa menggunakan rumus. yg saya maksud, adalah rumus persamaan trigonometri berikut ini:

Persamaan	Penyelesaian
$\sin{x} =\sin{a^\circ}$ $\cos{x}=\cos{a^\circ}$ $\tan{x}=\tan{a^\circ}$	$x=a^\circ+k\times360^\circ$ ataupun $x=(180-a)^\circ+k\times360^\circ$ $x=\pm a^\circ+k\times 360^\circ$ $x=a^\circ +k\times 180^\circ$

Rumus-rumus yg lumayan susah untuk diingat 😁, tapi cara yg saya bagikan ini sebenarnya tidak saya sarankan, anggap saja hanya berbagi pengalaman bagaimana cara saya menutupi kekurangan yg jujur saja lemah dalam hapalan, toh matematika bukan ilmu hapalan kan? hehe 😁

Namun tetap, ada beberapa syarat yg mesti terpenuhi untuk bisa menggunakan cara ini, 

Pertama, kalian harus tau nilai trigonometri sudut istimewa dengan kuadran I, sebagai berikut:
bahang
bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang bahang

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin{\alpha}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
$\cos{\alpha}$	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan{\alpha}$	$0$	$\frac{1}{3} \sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$

Kedua, kalian harus tau nilai trigonometri bernilai positif ataupun negatif berada di kuadran mana saja.

untuk mempermudah mengingatnya, kita ingat yg bernilai positifnya saja yg biasa saya hapal menggunakan "jembatan keledai" dalam kalimat "semanis sinta tanpa cosmetik", sebagai berikut:

Kuadran I : Semua bernilai positif ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sec$, $\csc$ bersama $\cot$)

Kuadaran II : $\sin$ (dan "kebalikannya" yaitu $\csc$) bernilai positif, yg lainnya negatif

Kuadran III : $\tan$  (dan "kebalikannya" yaitu $\cot$) bernilai positif, yg lainnya negatif

Kuadran IV : $\cos$ (dan "kebalikannya" yaitu $\sec$) bernilai positif, yg lainnya negatif

perhatikan diagram berikut:

Nah, itulah dua syarat yg harus terpenuhi.

Baiklah sekarang kita coba bahas soal persamaan trigonometri, kita mulai dari yg paling sederhana:

CONTOH 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.

Jawab:
Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III ataupun IV.

Sekarang perhatikan persamaan $\sin{x}=\frac{1}{2}$, bisa kita lihat nilai $\sin$ positif, artinya nilai $x$ yg memenuhi pastilah berada di kuadran I ataupun II (karena $\sin$ positif di kuadran I bersama II)

maka nilai $x$ yg memenuhi pastilah $x=30^\circ$ ataupun $x=150^\circ$

CONTOH 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan $\cos{x}+1=0$ untuk $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.

Jawab:
$\cos{x}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=0\Rightarrow\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$


Pertama perhatikan batasan $x$ yaitu $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ artinya $x$ bisa berada di kuadran I, II, III ataupun IV.

Perhatikan persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yg memenuhi berada di kuadran III bersama IV.

Maka nilai $x$ yg memenuhi adalah $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ ataupun $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$

bahang
bahang

CONTOH 3 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Penyelesaian persamaan $\cos{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$ adalah ....
A. $x=30^\circ, 150^\circ$
B. $x=120^\circ, 210^\circ$
C. $x=150^\circ, 210^\circ$
D. $x=150^\circ, 300^\circ$
E. $x=150^\circ, 330^\circ$

Jawab:
Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yg memenuhi berada di kuadaran II bersama III, maka nilai $x$ yg memenuhi adalah $x=180^\circ-30^\circ=150^\circ$ bersama $x=180^\circ+30^\circ=210^\circ$.

Jawaban: C

CONTOH 4 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Diketahui $x_1$ bersama $x_2$ merupakan penyelesaian persamaan $\sqrt{2}+2\cos{x}=0$ untuk $0^\circ\leq x \leq 360^\circ$. nilai $x_1+x_2=$ ....
A. $210^\circ$
B. $270^\circ$
C. $300^\circ$
D. $330^\circ$
E. $360^\circ$

Jawab:
$\begin{align*}\sqrt{2}+2\cos{x}&=0\\2\cos{x}&=-\sqrt{2}\\ \cos{x}&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{align*}$

Nilai $\cos$ negatif, artinya nilai $x$ yg memenuhi berada dengan kuadran II bersama III, maka:
$x_1=180^\circ-45^\circ=135^\circ$
$x_2=180^\circ+45^\circ=225^\circ$, 
sehingga $x_1+x_2=135^\circ+225^\circ=360^\circ$

Jawaban: E

CONTOH 5 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Penyelesaian persamaan $\tan{(x+15^\circ)}=-1$ untuk $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah ....
A. $x=135^\circ$
B. $x=225^\circ$
C. $x=300^\circ$
D. $x=315^\circ$
E. $x=330^\circ$

Jawab:
Batasan $x$, $180^\circ \leq x \leq 360^\circ$ bisa kita ubah menjadi :
$180^\circ+15^\circ \leq x+15^\circ \leq 360^\circ+15^\circ$
$\Rightarrow 195^\circ\leq x+15^\circ\leq 375^\circ$

Jika kita misalkan $x+15^\circ=p$, maka:
$\tan{p}=-1$ dengan $195^\circ\leq p \leq 375^\circ$

$\tan$ bernilai negatif, artinya $p$ yg memenuhi berada di kuadran IV, dengan demikian, nilai $p=360^\circ-45^\circ=315^\circ$

$\begin{align*}x+15^\circ&=p\\x+15^\circ&=315^\circ\\x&=315^\circ-15^\circ\\x&=300^\circ\end{align*}$

Jawaban: C

CONTOH 6 (Sumber soal: Matematika Peminatan Kls XI Intan Pariwara)

Himpunan penyelesaian persamaan $2\cos{(2x-60^\circ)}=1$ untuk $0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ adalah ....
A. $\{ 0^\circ, 45^\circ, 135^\circ \}$
B. $\{0^\circ, 60^\circ, 135^\circ\}$
C. $\{0^\circ, 60^\circ, 180^\circ\}$
D. $\{30^\circ, 45^\circ, 180^\circ\}$
E. $\{30^\circ, 135^\circ, 180^\circ\}$

Jawab:
$\begin{align*}2\cos {(2x-60^\circ)}&=1\\ \cos{(2x-60^\circ)}&=\frac{1}{2}\end{align*}$

Batasan $x$
$0^\circ \leq x \leq 180^\circ \Leftrightarrow -60^\circ \leq 2x-60^\circ \leq 360^\circ$

Misal: $2x-60^\circ = p$, maka
$\cos{p}=\frac{1}{2}$ untuk $-60^\circ \leq p \leq 300^\circ$

karena nilai $\cos$ positif, maka $p$ yg memenuhi berada di kuadran I, bersama IV. Perhatikan juga "batasan" $p$, $-60^\circ$ berada di kuadran IV, memenuhi. jadi $p=-60^\circ, 60^\circ, 300^\circ$

$2x-60^\circ=p\Leftrightarrow x=\frac{p+60^\circ}{2}$

untuk $p=-60^\circ\Rightarrow x=\frac{-60^\circ+60^\circ}{2}=0^\circ$
untuk $p=60^\circ\Rightarrow x=\frac{60^\circ+60^\circ}{2}=60^\circ$
untuk $p=300^\circ\Rightarrow x=\frac{300^\circ+60^\circ}{2}=180^\circ$

Jawaban: C