Ringkasan Materi Persamaan Garis

Nah kali ini Math-lab atas berbagi ringkasan materi Persamaan Garis. langsung aja berikut ringkasan materinya panas panas

Ringkasan Materi Persamaan Kuadrat

Langsung aja deh, inilah ringkasan materi Persaan Kuadrat

bergolak

atau Download disini.

setelah anda mempelajari materinya, silahkan perbanyak latihan soal ataupun bisa juga mencoba soal persamaan kuadrat yg sudah Mathlab siapkan pada link ini

Menyelesaikan Soal Limit Trigonometri Dengan Deret Maclaurin

Masih berkaitan dengan postingan sebelumnya disini, kali ini kita bagi membahas bagaimana cara menyelesaikan limit trigonometri dengan cara berbeda, yaitu dengan menggunakan deret Maclaurin. 

Berdasarkan deret MacLaurin, fungsi $\sin x$, $\cos x$ bersama $\tan x$ bisa di ekspansi sebagai berikut : (untuk mengetahui asal mula formula ini silahkan klik Link ini)

Meskipun kenyataanya Deret Maclaurin memuat suku sebanyak tak hingga, namun dalam penggunaan deret tersebut dalam peyelesaian soal Limit kita cukup menggunakan suku pertama  saja atau suku pertama bersama suku kedua tergantung bentuk soal yg bagi kita selesaikan.

Baiklah, perhatikan ketentuan berikut:

Pertama, andaikan limit $x\to 0$ fungsi trigonometri bisa diganti dengan suku pertama deret Maclaurin sebagai berikut:

Kedua, jika limit $x\to 0$ fungsi trigonometri diganti dengan suku pertama deret Maclaurin ternyata saling menghabiskan suku, maka kita gunakan dua suku dari deret Maclaurin sebagai berikut:

perhatikan contoh-contoh berikut ini

SOAL 1 SBMPTN SAINTEK 2020 KODE 155

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\cos 2x$ dengan 1, $\sin x$ dengan $x$ bersama $\cos x$ dengan 1

SOAL 2 SBMPTN 2020

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\sin x$ dengan $x$, $\sin x\sqrt{x}$ dengan $x\sqrt{x}$ bersama $\tan \sqrt{x}$ dengan $\sqrt{x}$.

SOAL 3 SBMPTN 2013

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\sin 7x$ dengan $7x$, $\tan 3x$ dengan $3x$, $\sin 5x$ dengan $5x$, $\tan 9x$ dengan $9x$, $\tan 3x$ dengan $3x$, bersama $\sin x$ dengan $x$

SOAL 4 UM-UGM 2011

JAWAB:

Keterangan : Kita ganti $\sin^3{2x}$ dengan $(2x)^3$, $\cos 2x$ dengan 1, bersama  $\sin 2x$ dengan $2x$ 

SOAL 5 UM-UNDIP 2012

JAWAB:
Langkah pertama kita ubah dulu bentuknya:

perhatikam bagian pembilang, andaikan $\sin {2x}$ kita ganti dengan suku pertama deret maclaurin yaitu $2x$ maka bagian pembilang kita peroleh  $4x^2-4x^2$ ("menghabiskan suku"), sesuai ketentuan andaikan menghabiskan suku, maka kita gunakan dua suku dari deret maclaurin, $\sin 2x$ kepada pembilang kita ganti dengan $2x-\frac{(2x)^3}{6}$ ataupun $2x-\frac{8x^3}{6}$. namun untuk bagian penyebut $\sin 2x$ cukup kita ganti dengan suku pertama dari deret maclaurin, yaitu $2x$.

perhatikan pembahasannya sebagai berikut:

Penggunaan Deret Maclaurin dalam menyelesaikan limit trigonometri belum begitu umum /familiar digunakan, referensi tentang materi ini masih sulit kita temukan, jadi silahkan sahabat-sahabat kembangkan lagi, saya hanya menyampaikan dasarnya saja.

Apakah menyelesaikan limit trigonometri dengan menggunakan deret Maclaurin lebih baik dibanding dengan menggunakan identitas trigonometri bersama L'hopital? jawabannya tidak, ketiga metode tersebut memiliki kelebihan bersama kekurangan masing-masing, jadi alangkah lebih baik andaikan kita memahami ketiga metode tersbut ataupun bahkan mungkin kita bisa mengkombinasikannya untuk memperoleh solusi yg lebih efektif. Untuk soal-soal di atas silahkan sahabat-sahabat coba selesaikan dengan metode lain, bandingkan bersama rasakan kelebihan bersama kekurangan masing-masing metode. 

Semoga postingan ini bisa memberi alternatif lain dalam menyelesaikan soal limit trigonometri, andaikan ada kekeliruan, kritik  maupun saran silahkan hubungi saya via email : denih.handayani@gmail.com atau isi bagian komentar.

agar lebih jelas, sahabat-sahabat bisa lihat video penjelasan penggunaan deret MacLaurin dalam menyelesaikan limit trigonometri sebagai berikut:
Video Part 1
Video Part 2
Video Part 3

Untuk latihan, silahkan download soal-soal limit kepada link di bawah ini:

Download Soal-soal Limit 

Persamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)

Pada kesempatan kali ini kita mau belajar tentang persamaan eksponensial, namun dikarenakan saya cenderung mau membahasnya secara aljabar, maka sebelumnya mari kita ingat-ingat lagi rumus-rumus perpangkatan yg sudah dipelajari ketika SMP/MTs sebagai berikut: gerah

Misalkan $a\in R$, $b\in R$, $m$ lalu $n$ bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $a^m:a^n=a^{m-n}$
3. $(a^m)^n=a^{m\times n}$
4. $(ab)^m=a^mb^m$
5. $a^0=1$
6. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
7. $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$

Berikui ini beberapa bentuk persamaan eksponensial:

Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$
untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^p$, $a > 0$ lalu $a \ne 1$ kita gunakan sifat berikut:
$$\large\boxed{a^{f(x)}=a^p\Leftrightarrow f(x)=p}$$

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : $2^{3x+1}=16$

Jawab:
$\begin{align*}2^{3x+1}&=16\\2^{3x+1}&=2^4\\ \Leftrightarrow 3x+1&=4\\3x&=3\\x&=1\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari: $\sqrt[3]{3^{x-7}}=\frac{1}{9}$

Jawab:

$\begin{align*}\sqrt[3]{3^{x-7}}&=\frac{1}{9}\\3^{\frac{x-7}{3}}&=3^{-2}\\ \Leftrightarrow \frac{x-7}{3}&=-2\\x-7&=-6\\x&=7-6\\x&=1\end{align*}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 1\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$
persamaan berbentuk $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, $a > 0$ lalu $a\ne 1$ angsal diselesaikan dengan menggunakan sifat berikut:$$\large\boxed{a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)}$$

Contoh 3:
Tentukan penyelesaian persamaan eksponensial $2^{x^2+3x+4}=4^{-x-1}$

Jawab:
$\begin{align*}2^{x^2+3x+4}&=4^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=(2^2)^{-x-1}\\2^{x^2+3x+4}&=2^{-2x-2}\\ \Leftrightarrow x^2+3x+4&=-2x-2\\x^2+5x+6&=0\\(x+2)(x+3)&=0\end{align*}$
$x+2=0$ maupun $x+3=0$
$x=-2$ maupun $x=-3$
Jadi, penyelesaiannya adalah $x=-2$ maupun $x=-3$

Persamaan Eksponensial Berbentuk $\left(a.p^{f(x)}\right)^2+b.\left(p^{f(x)}\right)+c=0$

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini salah satu caranya dengan menggunakan pemisalan $p^{f(x)}=q$ sehingga diperoleh bentuk persamaan kuadrat $aq^2+bq+c=0$. setelah nilai $q$ diperoleh, langkah selanjutnya substitusikan kembali kepada pemisalan $q=p^{f(x)}$ sehingga diperoleh nilai $x$

Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $3^{2x}-4\times 3^x=-3$

Jawab:
$\begin{align*}3^{2x}-4(3^x)&=-3\\3^{2x}-4(3^x)+3&=0\\(3^x)^2-4(3^x)+3&=0\end{align*}$
Misalkan $3^x=q$, maka diperoleh :
$\begin{align*}q^2-4q+3&=0\\(q-3)(q-1)&=0\end{align*}$
$\Leftrightarrow q-3=0$ maupun $q-1=0$
$q=3$ maupun $q=1$

untuk $q=3$:

$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=3\\&\Leftrightarrow3^x=3^1\\&\Leftrightarrow x=1\end{align*}$

untuk $q=1$:

$\begin{align*}&\Leftrightarrow 3^x=1\\&\Leftrightarrow3^x=3^0\\&\Leftrightarrow x=0\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left\{0,1\right\}$

Persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$
persamaan eksponensial bentuk $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$ terdefinisi bila lalu hanya bila memenuhi 4 syarat berikut:

1. $f(x)=g(x)$
2. $h(x)=1$
3. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x) >0$ lalu $g(x) >0$
4. $h(x)=-1\Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$

Contoh 5:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$

Jawab:

$(x-7)^{x^2-2}=(x-7)^x$

misalkan, $h(x)=x-7$, $f(x)=x^2-2$ lalu $g(x)=x$

Kemungkinan 1:

$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x^2-2&=x\\x^2-x-2&=0\\(x-2)(x+1)&=0\end{align*}$

$x_1=2$ maupun $x_2=-1$

Kemungkinan 2:

$\begin{align*}h(x)&=1\\x-7&=1\\x&=8\end{align*}$

Kemungkinan 3:
$h(x)=0 \Leftrightarrow f(x) > 0$ lalu $g(x) >0$
$x-7=0\rightarrow x=7$

Selidiki nilai $f(7)$ lalu $g(7)$:
$f(7)=7^2-2=49-2=47 > 0$
$g(7)=7 > 0$
Karena $f(7) > 0$ lalu $g(7) > 0$ maka $x=7$ memenuhi penyelesaian

Kemungkinan 4:
$h(x)=-1 \Leftrightarrow (-1)^{f(x)}=(-1)^{g(x)}$
$x-7=-1 \rightarrow x=6$
Selidiki  $f(6)$ lalu $g(6)$
$f(6)=6^2-2=36-2=34$ (Genap)
$g(6)=6$ (genap)
sehingga:
$(-1)^{36}=(-1)^6$
dengan demikian $x=6$ memenuhi penyelesaian

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ -1, 2,6,7,8\right\}$

Persamaan eksponensial berbentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$
Persamaan eksponensial bentuk $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$ terdefinisi bila lalu hanya bila memenuhi dua konsdisi sebagai berikut:

1. $f(x)=g(x)$
2. $h(x)=0\Leftrightarrow f(x)\ne 0, g(x)\ne 0$

Contoh 6:

Tentukan himpunan penyelesaian dari : $(x+2)^{x+1}=(2x+6)^{x+1}$

Jawab:

$f(x)=x+2$

$g(x)=2x+6$

$h(x)=x+1$

Kemungkinan 1:

$\begin{align*}f(x)&=g(x)\\x+2&=2x+6\\-x&=4\\x&=-4\end{align*}$

Kemungkinan 2:

$\begin{align*}h(x)&=0\\x+1&=0\\x&=-1\end{align*}$

Substitusikan $x=-1$ ke $f(x)$ lalu $g(x)$:
$f(-1)=-1+2=1\ne 0$
$g(-1)=2(-1)+6=4\ne 0$
karena $f(-1)\ne 0$ lalu $g(-1)\ne 0$ maka $x=-1$ memenuhi penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{-4, -1\right\}$

$\blacksquare$ Denih Handayani, 2020

Sumber:
BK. Noormandiri. Matematika Kelompok Peminatan Kelas X. Erlangga. 2020
Miyanto dkk. Matematika Peminatan Kelas X Semester 1.Intan Pariwara.2020 

Pertidaksamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)

Pertidaksamaan eksponensial merupakan pertidaksamaan yg eksponennya memuat variabel. 

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponen, kita bisa menggunakan sifat-sifat eksponen, ketentuan-ketentuan dengan persamaan eksponensial, maupun tinjauan dengan grafik fungsi eksponensial.

Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan Eksponensial

Untuk $a > 1$ :

1. Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ maka $f(x) > g(x)$
2. Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$
3. Jika $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ maka $f(x) < g(x)$
4. Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$

Untuk $0 < a < 1$ :

1. Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ maka $f(x) < g(x)$
2. Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$
3. Jika $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ maka $f(x) > g(x)$
4. Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$

atau dengan kata lain, misalnya $0 < a < 1$ maka tanda pertidaksamaan "dibalik" 

dan perlu diingat juga, misalnya pertidaksamaan di kali maupun di bagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan kita balik, sebagi contoh:

$-x > 5 $, untuk memperoleh interval $x$ maka kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga:
$-x > 5 \Rightarrow x < -5$ 

perhatikan, tanda pertidaksamaan yg semula $ > $, setelah kita kali $(-1)$ berubah menjadi $<$.

atau agar lebih jelas, logikanya seperti ini:
misal kita punya pertidaksamaan $8 > 2$, jelas sekali pertidaksamaan ini bernilai benar, karena $8$ itu lebih besar dari $2$ , lalu misalnya kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga $-8 > -2$, apakah pertidaksamaan itu masih bernilai benar?, ya jawabannya salah. nilai $-8$ tidak lebih besar dari $-2$, yg benar adalah $-8 < -2$, jadi sudah jelas, pertidaksamaan jika dikali maupun dibagi bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan berbalik.

oke, sekarang kita kembali ke pertidaksamaan eksponensial, perhatikan beberapa soal lalu pembahasan berikut:

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $3^{2x-3} \leq \frac{1}{81}$

Jawab:

$\begin{align*}3^{2x-3} &\leq \frac{1}{81}\\ 3^{2x-3} &\leq \frac{1}{3^4}\\3^{2x-3}&\leq 3^{-4}\\ \Leftrightarrow 2x-3 &\leq -4 \\2x &\leq -1\\x&\leq -\frac{1}{2}\end{align*}$

Jadi himpunan penyelesaiannya $\left \{ x | x \leq -\frac{1}{2} \right \}$

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{1}{3^{x-4}} \geq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

Jawab:

$\begin{align*}\frac{1}{3^{x-4}} &\geq \frac{1}{3\sqrt{3}}\\ \frac{1}{3^{x-4}} &\geq \frac{1}{3^{1\frac{1}{2}}}\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{x-4} &\geq \left(\frac{1}{3}\right)^{1\frac{1}{2}}\end{align*}$

Karena $a=\frac{1}{3}$, yaitu $0 < a < 1$, maka :

$\begin{align*}x-4 &\leq 1\frac{1}{2}\\x&\leq 5\frac{1}{2}\end{align*}$

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $5^{2x}-6.5^{x+1}+125 > 0$

Jawab:

$\begin{align*}5^{2x}-6.5^{x+1}+125&> 0\\(5^x)^2-6.(x^x)(5)+125&> 0\\(5^x)^2-30(5^x)+125&> 0\\(5^x-25)(5^x-5)&> 0\end{align*}$
$5^x < 5^1$ maupun $5^x > 25=5^2$
$x < 1$ maupun $x > 2$
Jadi himpunan penyelesaiannya: $\{x | x < 1$ maupun $ x > 2, x\in R \}$

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-4} < \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}$

Jawab:

$\begin{align*} \left ( \frac{1}{3} \right )^{2x-4}&< \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}\\ \left ( 3^{-1} \right )^{2x-1}&<\left ( \frac{27}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( \frac{3^3}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{3-(x+1)} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{2-x} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&< 3^{1-\frac{1}{2}x}\\ \Leftrightarrow -2x+4& < 1-\frac{1}{2}x\\  -\frac{3}{2}x& < -3\\x& > 2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x | x > 2, x \in R \right \}$


$\blacksquare$ Denih Handayani, juli 2020

Induksi Matematika (Induksi Matematika Sederhana, Induksi Matematika Umum, Kepada Induksi Matematika Kuat) Lengkap Dengan Contoh Soal Kepada Pembahasan

Induksi Matematika, ada yg tau apa itu induksi matematika?, Oke gini deh, misal kita ingin menjumlahkan $n$ buah bilangan asli pertama, kemudian kita nyari formulanya dari berbagi sumber, dengan ternyata kita menemukan sebuah formula bahwa jumlah $n$ buah bilangan asli pertama bisa ditentukan dengan formula $S_n=\frac{1}{2} n (n+1)$, nah pertanyaannya, apakah kalian percaya/yakin bahwa formula itu benar dengan berlaku untuk setiap bilangan asli $n$ ?  kita perlu sebuah tools untuk membuktikan kebenaran formula tersebut, ya salah satunya adalah dengan Induksi Matematika. Jadi kalau menurut bahasa buku bisa dibilang induksi matematika adalah cara membuktikan suatu pernyataan $P(n)$ selalu benar untuk setiap bilangan asli $n$.

Waktu masih kecil mungkin kalian pernah bermain domino dengan cara menyusunnya seperti gambar di atas. Nah, induksi matematika analoginya mirip seperti permainan tersebut. Analoginya seperti ini:

1. Dalam permainan domino, yg perlu kita lakukan adalah menjatuhkan domino pertama. Begitu pula dalam induksi matematika, yg pertama kita lakukan adalah membuktikan pernyataan $P(n)$ bernilai benar untuk $n=1$.
2. Jika domino pertama jatuh, maka domino kedua juga harus jatuh, Jika domino kedua jatuh, maka domino ketiga juga harus jatuh, demikian seterusnya. bisa kita simpulkan, kalau domino ke-$k$ jatuh, maka domino ke-$(k+1)$ juga harus jatuh, dengan demikian kita bisa menjamin bahwa seluruh domino dalam deretan tersebut juga pasti jatuh. Demikian juga dalam induksi matematika, kita harus membuktikan kalau $P(k)$ benar, maka $P(k+1)$ juga harus benar. Dengan terbuktinya pernyataan ini, kita bisa menjamin bahwa pernyataan $P(n)$ selalu benar untuk setiap bilangan asli $n$.

Analogi seperti domino tadi, merupakan analogi pembuktian dengan induksi matematika sederhana. Sementara dengan blog ini kita hendak membahas lnduksi matematika yg lebih lengkap, meliputi induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dengan induksi matematika kuat.

Induksi Matematika Sederhana

berdasarkan analogi di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa langkah-langkah pembuktian dengan induksi sederhana untuk membuktikan suatu pernyataan $P(n)$ adalah sebagai berikut:

1. Buktikan bahwa $P(1)$ benar.    (langkah dasar)
2. Misalkan $P(k)$ benar, gunakan hal ini untuk membuktikan bahwa $P(k+1)$ juga benar (langkah induksi)

Contoh 1

Buktikan bahwa untuk setiap setiap bilangan asli $n$ berlaku:
$$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1)$$
Jawab:
Kita gunakan induksi matematika, dengan
$$P(n)\equiv 1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1)$$
Pertama, kita hendak membuktikan kebenaran $P(1)$
$P(1)\equiv 1=\frac{1}{2}(1)(1+1)=1$  (benar)

Kedua, kita asumsikan $P(k)$ benar.
$P(k)\equiv 1+2+3+\cdots+k=\frac{1}{2}k(k+1)$

dengan menggunakan hal di atas, kita hendak membuktikan $P(k+1)$, yaitu:
$P\left ( k+1 \right ) \equiv 1+2+3+...+k+\left ( k+1 \right )=\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( \left ( k+1 \right )+1 \right )$

dari persamaan terakhir, maka:
Ruas Kiri
$\underset{\frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+...k}}+\left ( k+1 \right )\\=\frac{1}{2}k\left ( k+1 \right )+\left ( k+1 \right )\\=\left ( k+1 \right )\left ( \frac{1}{2}k+1 \right )\\=\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$

Ruas Kanan:
$\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( \left (k+1  \right )+1 \right )\\=\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$

karena ruas kiri $=$ ruas kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli $n$

Contoh 2

Buktikan bahwa "untuk semua bilangan asli $n$, jumlah $n$ bilangan ganjil berurutan, pertama sama dengan $n^2$"

Jawab:
kalimat di atas bisa kita tulis:
$$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$$

Pertama, kita hendak membuktikan kebenaran $P(1)$
$P(1)\equiv(2\times 1 - 1)=1^2=1$    (benar)

Kedua, kita asumsikan $P(k)$ benar.
$ P(k)\equiv 1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2 $

Dengan menggunakan hal ini, kita hendak membuktikan $P(k+1)$:

$P(k+1) \equiv 1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2(k+1-1))=(k+1)^2$

dari persamaan terakhir, maka:
Ruas Kiri
$\underset{k^2}{\underbrace{1+3+5+...+\left ( 2k-1 \right )}}+\left ( 2\left ( k+1 \right )-1 \right )\\=k^2+2k+1\\=\left ( k+1 \right )^2$


Ruas Kanan
$(k+1)^2$

karena ruas kiri $=$ ruas kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli $n$

Kesalahan dalam Pembuktian Induksi Matematika
Perlu diperhatikan, kedua langkah dalam pembuktian menggunakan induksi matematika yaitu langkah dasar dan langkah induksi, kedua langkah tersebut harus dilakukan. Seperti halnya analogi jatuhnya domino tadi, kalau kita tidak menjatuhkan domino pertama, dengan langsung menjatuhkan domino bagian tengah maupun urutan kesekian, maka tidak semua domino hendak terjatuh. Hal tersebut menunjukkan bahwa kedua langkah tersebut penting untuk dilakukan. Sebagai contoh, sekarang kita hendak membuktikan suatu pernyataan dengan induksi matematika tanpa langkah dasar:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku:
$$1+2+3+...+n=\frac{1}{8}(2n+1)^2$$

Jawab:
Kita gunakan induksi matematika:
$$P(n)=1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{8}\left ( 2n+1 \right )^2$$

Langkah Dasar : (untuk bagian ini langkah dasar kita coba lewati)

Langkah Induksi:
Misalkan $P(k)$ benar.
$P(k) \equiv 1+2+3+\cdots +k=\frac{1}{8}\left ( 2k+1 \right )^{2}$

Persamaan di atas kita gunakan untuk membuktikan $P(k+1)$:
$P(k+1)\equiv 1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{1}{8}\left ( 2k+3 \right )^2$

Ruas Kiri:
$\underset{\frac{1}{8}\left ( 2k+1 \right )^2}{\underbrace{1+2+3+\cdots+k}}+\left ( k+1 \right )\\=\frac{1}{8}\left ( 2k+1 \right )^2+\left ( k+1 \right )\\=\frac{1}{8}\left ( 4k^2+4k+1+8k+8 \right )\\=\frac{1}{8}\left ( 4x^2+12x+9 \right )\\=\frac{1}{8}\left ( 2x+3 \right )^2$

dengan jelas kita lihat bahwa hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, seolah-olah pernyataan tersebut terbukti benar, namun kalau kita substitusikan $n=1$ maka kita peroleh

$P(1)\equiv 1=\frac{1}{8}(2\times 1+1)^2\Leftrightarrow 1=\frac{9}{8}$ (salah)


dengan demikian, kedua langkah induksi harus kita lakukan untuk memastikan kebenaran suatu pernyataan.



Induksi Matematika Umum/dirapatkan
Sekarang timbul pertanyaan, apakah untuk langkah dasar harus selalu menggunakan $n=1$? jawabannya tergantung pernyataan yg hendak kita buktikan. Jika pernyataan yg hendak kita buktikan "berlaku untuk semua bilangan asli" maka ya, langkah dasar kita gunakan $n=1$. Namun adakalanya pernyataan yg hendak kita buktikan tidak berlaku untuk semua bilangan asli $n$, melainkan terdapat suatu nilai terkecil yg menjadi batas bawah dimana pernyataan tersebut berlaku. Misalnya nilai terkecil tersebut kita misalkan sebagai $n_0$ dengan $n_0$ bilangan bulat, maka langkah dasar kita ganti dengan membuktikan kebenaran $P(n_0)$. Secara umum langkah-langkahnya bisa kita tulis sebagai berikut:

1. Buktikan bahwa $P(n_0)$ benar.    (langkah dasar)
2. Misalkan $P(k)$ benar untuk $k > n_0$, gunakan hal ini untuk membuktikan bahwa $P(k+1)$ juga benar (langkah induksi)

langkah-langkah di atas, disebut sebagai langkah-langkah pembuktian induksi matematika umum.

Contoh 3

Buktikan bahwa
$$n^2 \geq 2n+7$$
untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$

Jawab:
Kita gunakan induksi matematika umum, dengan:
$P(n)\equiv n^2 \geq 2n+7$
Kita hendak membuktikan bahwa $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n$ dengan $ n\geq 4$.

Langkah dasar:
kita hendak membuktikan kebenaran $P(4)$
$P(4)\equiv 4^2\geq 2(4)+7\Leftrightarrow 16\geq 15$ (Benar)

Langkah Induksi:
kita misalkan $P(k)$ benar untuk $k \geq 4$
$P(k)\equiv k^2 \geq 2k+7$ untuk $ k \geq 4$ (hipotesis)

dari hipotesis kita peroleh:
$k^2 \geq 2k+7$             kalau kedua ruas kita tambah $2k+1$, maka:
$k^2+2k+1 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(k+3)$ karena $k \geq 4$ maka $k+3 \geq 7$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(7)$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$

dengan menggunakan hal di atas, kita hendak membuktikan $P(k+1)$, yitu:
$$P(k+1) \equiv (k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$$
karena $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$ dengan hipotesis kita misalkan benar, maka $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$ benar (karena 14 > 7)
dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli  $n\geq 4$

Induksi Kuat
Jika dengan induksi dasar dengan induksi umum hipotesis induksi hanya terdiri atas anggapan kebenaran satu pernyataan, yaitu $P(k)$, beda halnya dengan induksi kuat. Pada induksi kuat, dalam hipotesis kita menganggap semua pernyataan benar.
$$P(n_0), P(n_0+1), P(n_0+2), \cdots, P(k)$$
yaitu, semua pernyataan untuk nilai $n$ dari batas bawah sampai dengan $k$ , dengan kita juga harus membuktikan kebenaran $P(k+1)$.

gerah



langkah-langkah dalam induksi kuat:
gerah

1. Buktikan bahwa $P(n_0)$ benar.    (langkah dasar)
2. misalkan $P(n_0), P(n_0+1), P(n_0+2), \cdots, P(k)$ benar untuk $k\geq n_0$ gunakan hal ini untuk membuktikan bahwa $P(k+1)$ juga benar (langkah induksi)

Contoh 4

Buktikan bahwa setiap bilangan bulat positif $n\geq 2$ bisa dinyatakan sebagai perkalian dari satu maupun lebih bilangan prima.

Jawab:

Langkah dasar:
Jika $n=2$, dengan $2$ sendiri merupakan bilangan prima, maka jelas pernyataan ini benar.

Langkah induksi:
misalkan pernyataan bahwa $2, 3, 4, \cdots, k$ bisa dinyatakan sebagai perkalian dari satu maupun lebih bilangan prima, hendak dibuktikan bahwa $k+1$ bisa dinyatakan sebagai hasil kali satu maupun lebih bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai $k+1$ bisa prima, maupun komposit (bukan prima):

1. Jika $k+1$ merupakan bilangan prima, maka $k+1$ bisa dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima, yaitu $k+1$ itu sendiri.
2. Jika $k+1$ bukan bilangan prima, maka $k+1$ memiliki pembagi selain $1$ dengan $k+1$ itu sendiri, ada bilangan asli lain yg bisa membagi $k+1$, kita misalkan $a$ dengan hasil baginya kita misalkan $b$, dapt kita tulis:$$\frac{k+1}{a}=b\Leftrightarrow k+1=ab$$Karena $2\leq a,b\leq k$, maka nilai $a$ dengan $b$ yg mungkin adalah $2, 3, 4, \cdots, k$. berdasarkan hipotesis, kita mengetahui bahwa bilangan-bilangan tersebut merupakan hasil kali satu maupun lebih bilangan prima. Maka $ab$ bisa pula dinyatakan sebagai hasil kali satu maupun lebih bilangan prima, dengan demikian $k+1$ juga bisa dinyatakan sebagai perkalian satu maupun lebih bilangan prima.

Jadi, terbukti bahwa $P(k+1)$ benar, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli $n \geq 2$.

Silakan gabung di Fans Page Facebook, Channel Telegram untuk memperoleh update terbaru, dan Subscribe Channel YouTube m4th-lab untuk memperoleh video pembelajaran matematika secara gratis, untuk mengikuti tautan klik dengan tombol di bawah ini:

m4th-lab Youtube Channel: 

m4th-lab Facebook Fans Page:

m4th-lab Telegram Channel:

@banksoalmatematika

Jika ada kekeliruan, silahkan isi komentar dengan senang hati saya menerima kritik dengan saran.
semoga bermanfaat

$\blacksquare$ Denih Handayani, 26 Juli 2020

gerah

Barisan Aritmetika Bertingkat - Bukan Sekedar Rumus, Mari Pahami Konsepnya

Sebagai pengantar, perhatikan beberapa contoh barisan bilangan berikut: beringsang

1. $7, 10, 13, 16, 19, \cdots$
2. $2, 4, 8, 16, 32, \cdots$
3. $0, 3, 8, 15, 24, \cdots$
4. $1, 3, 11, 31, 69, 131, \cdots$

Dari keempat contoh barisan bilangan di atas,  bisakah kalian menyebutkan satu persatu jenis barisan bilangan tersebut? oke jawabannya tepat sekali, contoh pertama merupakan barisan aritmetika, dengan contoh kedua adalah barisan geometri, lalu contoh yg ketiga dengan keempat?

Barisan bilangan dengan contoh ketiga dengan keempat merupakan contoh barisan aritmetika bertingkat sebab selisih setiap suku barisan tersebut membentuk barisan aritmetika. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Satu

selisih setiap suku berurutan $(U_n-U_{n-1})$ bernilai tetap (konsatan), barisan bilangan ini merupakan barisan aritmetika bertingkat satu, alias cukup kita sebut sebagai barisan aritmetika.

Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Dua

Pada barisan ini selisih tetap (konstan) tidak kita peroleh dari selisih suku-sukunya, namun diperoleh dengan "tingkatan kedua", oleh karena itu, barisan seperti ini disebut sebagai barisan aritmetika bertingkat dua.

Contoh Barisan Aritmetika Bertingkat Tiga

Pada barisan ini selisih tetap (konstan) tidak kita peroleh dari selisih suku-sukunya, namun diperoleh dengan "tingkatan ketiga", oleh karena itu, barisan seperti ini disebut sebagai barisan aritmetika bertingkat tiga.

Saya rasa tiga contoh di atas sudah cukup. Namun jangan disimpulkan bahwa barisan aritmetika hanya sampai tingkat tiga, sebenarnya masih bisa kita teruskan barisan aritmetika bertingkat empat, lima, enam dengan seterusnya. Intinya, contoh-contoh di atas saya sajikan hanya untuk memberi "gambaran" seperti apa barisan aritmetika bertingkat itu. Jika sudah paham, mari kita lanjutkan materinya

Hubungan Fungsi Polinomial dengan Barisan Aritmetika Bertingkat

Misal saya berikan beberapa fungsi $U_n$ yg menyatakan suku ke $n$ dari suatu barisan bilangan (dalam variabel $n$), dengan derajat (pangkat tertinggi) berbeda-beda sebagai berikut:

$U_n=4n-1$

$U_n=4n-1$ merupakan fungsi bentuk polinomial berderajat 1, misalnya kita substitusi $n$ dengan bilangan asli berurutan, maka kita peroleh:

$U_1=4(1)-1=4-1=3$

$U_2=4(2)-1=8-1=7$

$U_3=4(3)-1=12-1=11$

$U_4=4(4)-1=16-1=15$

$U_5=4(5)-1=21-1=19$

dan seterusnya.

perhatikan hasilnya, ternyata memiliki selisih yg tetap (membentuk barisan aritmetika).

$U_n=2n^2-n+4$

$U_n=2n^2-n+4$ merupakan fungsi bentuk polinomial berderajat 2, jika kita substitusi $n$ dengan bilangan asli berurutan, maka kita peroleh:

$U_1=2(1)^2-1+4=5$

$U_2=2(2)^2-2+4=10$

$U_3=2(3)^2-3+4=19$

$U_4=2(4)^2-4+4=32$

$U_5=2(5)^2-5+4=49$

atau bisa kita tulis:

Perhatikan, ternyata untuk fungsi polinomial berderajat 2, menghasilkan barisan bilangan berderajat 2 juga.

$U_n=n^3-3n^2+4n-1$

Dengan cara yg sama dengan dua contoh sebelumnya, maka kita peroleh:

dari ketiga contoh di atas, bisa kita tarik kesimpulan:

Suku ke $n$ barisan aritmetika bertingkat satu mau berbentuk fungsi polinomial berderajat satu, suku ke $n$ barisan aritmetika bertingkat dua mau berbentuk fungsi polinomial berderajat dua dengan suku ke $n$ barisan aritmetika bertingkat tiga mau berbentuk fungsi polinomial berderajat tiga, alias secara umum bisa kita tulis:

Jika $U_n$ menyatakan suku ke $n$ suatu barisan bilangan $U_n=f(n)$ dengan $f$ adalah fungsi berbentuk polinomial dalam variabel $n$ dengan derajat (pangkat tertinggi) $k$,  maka $U_n$ adalah barisan aritmetika berderajat $k$

beringsang

Menentukan Rumus $U_n$ Barisan Aritmetika Bertingkat

$\blacksquare$ Barisan Aritmetika Tingkat Satu
Kita sudah pernah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat satu mau berupa fungsi polinomial berderajat satu, kita misalkan fungsi tersebut adalah :
$$U_n=an+b$$
Jika kita substitusi $n=1, 2, 3, \cdots $ ke $U_n=an+b$ maka kita peroleh:

Contoh Penggunaan:

Tentukan suku ke 20 dari barisan bilangan $5, 9, 13, 17, 21, \cdots $

Jawab:

Perhatikan bagian yg saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat $a=4$ dengan $a+b=5\Rightarrow 4+b=5\Rightarrow b=1$

kemudian substitusikan $a=4$ dengan $b=1$ ke $U_n=an+b$, maka kita peroleh:

$$Un=4n+1$$

maka suku ke 20 adalah $U_{20}=4(20)+1=81$

$\blacksquare$ Barisan Aritmetika Tingkat Dua
Kita sudah pernah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat satu mau berupa fungsi polinomial berderajat dua, kita misalkan fungsi tersebut adalah :
$$U_n=an^2+bn+c$$
Jika kita substitusi $n=1, 2, 3, \cdots $ ke $U_n=an^2+bn+c$ maka kita peroleh:

Contoh Penggunaan:

Tentukan suku ke-$10$ dari barisan bilangan $4, 12, 26, 46, 72, 104, \cdots $

Jawab:

Perhatikan bagian yg saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat:

$2a=6\Rightarrow a=3$

$3a+b=8\Rightarrow 3(3)+b=8\Rightarrow b=2$

$a+b+c=4\Rightarrow 3+2+c=4\Rightarrow c=-1$

Kemudian kita substitusi $a=3$, $b=2$ dengan $c=-1$ ke persamaan $U_n=an^2+bn+c$, maka kita peroleh:

$$U_n=3n^2+2n-1$$

dengan demikian suku ke $10$ adalah:

$U_10=3(10)^2+2(10)-1=319$

$\blacksquare$ Barisan Aritmetika Tingkat Tiga

Kita sudah pernah mengetahui bahwa rumus untuk menentukan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika tingkat tiga mau berupa fungsi polinomial berderajat tiga, kita misalkan fungsi tersebut adalah :
$$U_n=an^3+bn^2+cn+d$$
Jika kita substitusi $n=1, 2, 3, \cdots $ ke $U_n=an^2+bn+c$ maka kita peroleh:

Contoh Penggunaan:
Tentukan rumus suku ke-$n$ dari $1, 3, 11, 31, 69, 131, \cdots$

Jawab:

Perhatikan bagian yg saya beri "kotak", dari sana bisa kita lihat:

$6a=6\Rightarrow a=1$

$12a+2b=6\Rightarrow 12(1)+2b=6 \Rightarrow b=-3$

$7a+3b+c=2 \Rightarrow 7(1)+3(-3)+c=2 \Rightarrow c=4$

$a+b+c+d=1 \Rightarrow 1+(-3)+4+d=1 \Rightarrow d=-1$

selanjutnya, kita substitusikan $a=1$, $b=-3$, $c=4$ dengan $d=-1$ ke persamaan $U_n=an^3+bn^2+cn+d$ maka kita peroleh:

$$U_n=n^3-3n^2+4n-1$$

Oke, kita sudahi dulu materinya sampai sini 😊, tapi materi ini belum selesai, dengan postingan berikutnya insya Alloh saya mau membahas bagaimana cara menurunkan suatu rumus umum barisan aritmetika bertingkat. Jadi, kunjungi terus blog ini.

Untuk latihan kalian bisa coba soal berikut:
Carilah rumus suku ke-$n$ dari setiap barisan aritmetika bertingkat berikut:

1. $9, 16, 27, 42, 61, \cdots $
2. $5, 5, 11, 29, 65, 125, 215, \cdots$
3. $5, 13, 55, 179, 457, 985, \cdots$

semoga bermanfaat.

$\blacksquare$ Denih Handayani,  30 Juli 2020