Pertidaksamaan Eksponensial (Matematika Peminatan Kelas X Kurikulum 2013 Revisi)

Pertidaksamaan eksponensial merupakan pertidaksamaan yg eksponennya memuat variabel. 

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponen, kita bisa menggunakan sifat-sifat eksponen, ketentuan-ketentuan dengan persamaan eksponensial, maupun tinjauan dengan grafik fungsi eksponensial.

Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan Eksponensial

Untuk $a > 1$ :

1. Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ maka $f(x) > g(x)$
2. Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$
3. Jika $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ maka $f(x) < g(x)$
4. Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$

Untuk $0 < a < 1$ :

1. Jika $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ maka $f(x) < g(x)$
2. Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$
3. Jika $a^{f(x)} < a^{g(x)}$ maka $f(x) > g(x)$
4. Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$

atau dengan kata lain, misalnya $0 < a < 1$ maka tanda pertidaksamaan "dibalik" 

dan perlu diingat juga, misalnya pertidaksamaan di kali maupun di bagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan kita balik, sebagi contoh:

$-x > 5 $, untuk memperoleh interval $x$ maka kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga:
$-x > 5 \Rightarrow x < -5$ 

perhatikan, tanda pertidaksamaan yg semula $ > $, setelah kita kali $(-1)$ berubah menjadi $<$.

atau agar lebih jelas, logikanya seperti ini:
misal kita punya pertidaksamaan $8 > 2$, jelas sekali pertidaksamaan ini bernilai benar, karena $8$ itu lebih besar dari $2$ , lalu misalnya kedua ruas kita kali $(-1)$ sehingga $-8 > -2$, apakah pertidaksamaan itu masih bernilai benar?, ya jawabannya salah. nilai $-8$ tidak lebih besar dari $-2$, yg benar adalah $-8 < -2$, jadi sudah jelas, pertidaksamaan jika dikali maupun dibagi bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan berbalik.

oke, sekarang kita kembali ke pertidaksamaan eksponensial, perhatikan beberapa soal lalu pembahasan berikut:

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $3^{2x-3} \leq \frac{1}{81}$

Jawab:

$\begin{align*}3^{2x-3} &\leq \frac{1}{81}\\ 3^{2x-3} &\leq \frac{1}{3^4}\\3^{2x-3}&\leq 3^{-4}\\ \Leftrightarrow 2x-3 &\leq -4 \\2x &\leq -1\\x&\leq -\frac{1}{2}\end{align*}$

Jadi himpunan penyelesaiannya $\left \{ x | x \leq -\frac{1}{2} \right \}$

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{1}{3^{x-4}} \geq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

Jawab:

$\begin{align*}\frac{1}{3^{x-4}} &\geq \frac{1}{3\sqrt{3}}\\ \frac{1}{3^{x-4}} &\geq \frac{1}{3^{1\frac{1}{2}}}\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{x-4} &\geq \left(\frac{1}{3}\right)^{1\frac{1}{2}}\end{align*}$

Karena $a=\frac{1}{3}$, yaitu $0 < a < 1$, maka :

$\begin{align*}x-4 &\leq 1\frac{1}{2}\\x&\leq 5\frac{1}{2}\end{align*}$

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $5^{2x}-6.5^{x+1}+125 > 0$

Jawab:

$\begin{align*}5^{2x}-6.5^{x+1}+125&> 0\\(5^x)^2-6.(x^x)(5)+125&> 0\\(5^x)^2-30(5^x)+125&> 0\\(5^x-25)(5^x-5)&> 0\end{align*}$
$5^x < 5^1$ maupun $5^x > 25=5^2$
$x < 1$ maupun $x > 2$
Jadi himpunan penyelesaiannya: $\{x | x < 1$ maupun $ x > 2, x\in R \}$

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-4} < \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}$

Jawab:

$\begin{align*} \left ( \frac{1}{3} \right )^{2x-4}&< \sqrt{\frac{27}{3^{x+1}}}\\ \left ( 3^{-1} \right )^{2x-1}&<\left ( \frac{27}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( \frac{3^3}{3^{x+1}} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{3-(x+1)} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&<\left ( 3^{2-x} \right )^\frac{1}{2}\\3^{-2x+4}&< 3^{1-\frac{1}{2}x}\\ \Leftrightarrow -2x+4& < 1-\frac{1}{2}x\\  -\frac{3}{2}x& < -3\\x& > 2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ x | x > 2, x \in R \right \}$


$\blacksquare$ Denih Handayani, juli 2020