Polinomial (Suku Banyak) Bagian 1

Untuk kurikulum 2013 materi polinomial ini di ajarkan dengan matematika peminatan kelas XI, insyaAlloh pada tulisan ini saya atas membahas materi polinomial secara lengkap. Sebelum kita mulai silakan siapkan dulu cemilan 😀

1. Apakah Polinomial Itu?

Masih ingat dengan fungsi linear beserta fungsi kuadrat? kedua fungsi tersebut merupakan contoh dari polinomial (suku banyak) dalam satu variabel. Bentuk umum polinomial satu variabel angsal ditulis sebagai berikut:

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$$

dengan $n$ eksponen dari variabel $x$ beserta $n$ merupakan bilangan bulat non negatif.

Karena eksponen harus bilangan bulat non negatif, maka andaikata variabel $x$ berpangkat negatif, misalnya $x^{-2}$ alias $\frac{1}{x^{-2}}$ bukan polinomial. Begitu pula andaikata varibel $x$ berpangkat pecahan, misalnya $x^{\frac{1}{2}}$ alias $\sqrt{x}$, bukan polinomial. Untuk lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut:

Contoh polinomial:

1. $f(x)=3x^3-2x^2+7x-1$
2. $f(x)=-6x^2-3x+6$
3. $f(x)=5x-1$
4. $f(x)=7$

Contoh bukan polinomial:

1. $f(x)=x^2-6x^{-2}+3$ bukan polinomial, karena terdapat pangkat variabel bernilai negatif.
2. $f(x)=x^3-2x-\sqrt{x}$ bukan polinomial karena terdapat pangkat variabel berupa pecahan (akar) 

2. Suku Utama, Derajat, beserta Koefisien Utama

Pada polinomial (suku banyak) ada yg disebut dengan suku utama, derajat, beserta koefisien utama, berikut ini definisinya:

1. Suku utama adalah suku yg memuat pangkat tertinggi.
2. Derajat adalah nilai pangkat tertinggi.
3. Koefisien utama adalah koefisien dari variaber yg memiliki pangkat tertinggi

Contoh:
Perhatikan polinomial berikut:
$$f(x)=5x^4-2x^3+7x-10$$
Pada polinomial di atas kita angsal melihat pangkat tertinggi dari variabel $x$ adalah $4$, artinya polinomial tersebut berderajat $4$, koefisien dari variabel pangkat tertinggi $(x^4)$ adalah $5$, dengan demikian $5$ adalah koefisien utama. Sedangkan suku utama adalah suku yg memuat pangkat tertinggi, yaitu $5x^4$.

3. Menghitung Nilai Polinomial

Misal suatu fungsi kita nyatakan dengan $f(x)$ maka nilai fungsi tersebut untuk $x=k$ adalah $f(k)$. Perhatikan contoh berikut:

Contoh:
Diketahui $f(x)=2x^2-3x+1$, tentukan nilai $f(x)$ untuk $x=2$.

Jawab:
yang perlu kita lakukan hanyalah mensubstitusi nilai $x=2$ ke fungsi $f(x)$

$\begin{align*}f(x)&=2x^2-3x+1\\f(2)&=2(2)^2-3(2)+1\\&=2(4)-3(2)+1\\&=8-6+1\\&=3\end{align*}$
dengan demikian nilai $f(2)=3$

4. Penjumlahan beserta Pengurangan Polinomial

Dalam menjumlahkan alias mengurangkan polinomial, yg kita jumlahkan alias kita kurangkan adalah suku-suku yg sejenis. Untuk polinomial satu variabel, yg dimaksud suku-suku sejenis adalah suku-suku dengan pangkat variabel sama. Misalnya, $2x^2$ dengan $7x^2$, $6x^5$ dengan $\frac{1}{2}x^5$ beserta sebagainya. 

Contoh:
Diberikan polinomial-polinomial $P(x)=4x^4-3x^3+2x-1$ beserta $Q(x)=x^3-2x^2+4$, tentukan:
a. $P(x)+Q(x)$
b. $P(x)-Q(x)$

Jawab:

a. $P(x)+Q(x)$
$\begin{align*}P(x)+Q(x)&=(4x^4-3x^3+2x-1)+(x^3-2x^2+4)\\&=(4x^4)+(-3x^3+x^3)+(-2x^2)+(2x)+(-1+4)\\&=4x^4-2x^3-2x^2+2x+3\end{align*}$

b. $P(x)-Q(x)$
$\begin{align*}P(x)+Q(x)&=(4x^4-3x^3+2x-1)-(x^3-2x^2+4)\\&=(4x^4)+(-3x^3-x^3)+(2x^2)+(2x)+(-1-4)\\&=4x^4-4x^3+2x^2+2x-5\end{align*}$

5. Perkalian Polinomial

Ketika kalian masih SMP, sebenarnya kalian sedia mempelajari perkalian polinomial, perharikan contoh berikut ini:

6. Kesamaan Polinomial

Pada polinomial, terdapat istilah kesamaan dan persamaan. Bisakah kalian membedakannya? perhatikan contoh berikut:

1. $2x-5=13$
2. $(x-3)(x+3)=x^2-9$

Pada contoh di atas, bentuk pertama yaitu $2x-5=13$ hanya benar untuk $x$ tertentu saja, kita sebut sebagai persamaan. Sedangkan bentuk kedua, yaitu $(x-3)(x+3)=x^2-9$ selalu benar untuk $x\in\mathbb{R}$, kita sebut sebagai kesamaan.

Kesamaan antara dua polinomial $f(x)$ beserta $g(x)$ andaikata beserta hanya andaikata setiap suku dengan pangkat sama memiliki koefisien yg sama.

bergolak
Contoh:

$px^2+qx+r\equiv3x^2+2x+5$, andaikata beserta hanya andaikata koefisien-koefisiennya $p=3, q=2, r=5$

7. Pembagian Polinomial
Perhatikan uraian berikut mengenai pembagaian yg pernah kita pelajari ketika SD:

Jika kita membagi $13$ dengan $5$ maka atas bersisa $3$, alias angsal di tulis:
$$13=5\times  2+3$$
dengan:
$13=$ yg di bagi
$5=$ pembagi
$2=$ hasil bagi
$3=$ sisa

dengan kata lain:
$$\boxed{\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times\text{hasil bagi}+\text{sisa}}$$

Algoritma yg sama berlaku juga dengan polinomial, maka:
$$F(x)=P(x)\times H(x)+S(x)$$
dengan:
$F(x)=$ Polinomial yg dibagi
$P(x)=$ Pembagi
$H(x)=$ Hasil bagi
$S(x)=$ Sisa

Sementara, tulisan ini saya sudahi dulu sampai disini. Materi ini belum selesai, tunggu Polinomian bagian 2.