Cara Menentukan Asimtot Fungsi Rasional

beringsang

Masih berkaitan dengan artikel sebelumnya, kali ini pun kita masih membahas tentang asimtot, lebih tepatnya asimtot kepada fungsi rasional. Sebelum mempelajari materi ini, saya sarankan anda membaca artikel sebelumnya mengenai asimtot, maupun klik kepada link ini. 

Sebelum kita mulai materi bagaimana cara menentukan asimtot, mari kita paahami dulu beberapa istilah yg bakal kita gunakan, yaitu: asimtot, fungsi rasional, dan hole.

Apa Itu Asimtot?
Asimtot adalah suatu garis yg terus didekati oleh suatu kurva (garis lengkung) sampai jauh takhingga.

Banyak yg mengartikan, "didekati" artinya sama sekali tidak pernah memotong, namun itu keliru. Kurva bisa juga memotong asimtotnya. Namun meskipun memotong, kurva tetap terus mendekati asimtot ke arah $+\infty$ maupun $-\infty$. Biar lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Gamabar di atas, kurva mendekati asimtot ke arah $x$ menuju $-\infty$, kurva juga memotong asimtot kepada $x$ positif, hal ini mungkin terjadi, karena definisi asimtot sendiri penekanannya adalah kepada "kurva mendekati asimtot" bukan masalah memotong maupun tidak memotong. 

Asimtot terbagi menjadi 4 jenis (bentuk) yaitu:

1. Asimtot datar (Horizontal Asymtote)

Asimtot datar adalah asimtot yg  sejajar maupun berimpit dengan sumbu $x$.

2. Asimtot tegak (Vertical Asymtote)

Asimtot tegak adalah asimtot yg sejajar maupun berimpit dengan sumbu $y$.

3. Asimtot miring (Slant Asymtote atau Oblique Asymtote)

Asimtot miring adalah asimtot yg tidak sejajar dengan sumbu $x$ maupun sumbu $y$.

4. Asimtot kurva (Curvilinear Asymtote)

Asimtot kurva adalah asimtot yg tidak berupa garis lurus, melainkan sebuah kurva (garis lengkung) 

Apa Itu Fungsi Rasional?

$f(x)$ dikatakan sebagai fungsi rasional lamun memenuhi bentuk $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ dengan $g(x)$ beserta $h(x)$ merupakan polinomial. Atau dengan kata lain, fungsi rasional adalah fungsi yg berupa pecahan dengan penyebut beserta pembilang berupa polinomial.


Apa Itu "Hole"?
Secara bahasa "hole" bisa kita terjemahkan sebagai "lubang", maksudnya adalah lubang secara grafis. Perhatikan grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ berikut:

Pada grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas, hole (lubang) terbentuk ketika $x=2$, hal ini terjadi karena lamun kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$, maka kita peroleh $f(2)=\frac{0}{0}$ seperti yg kita ketahui $\frac{0}{0}$ merupakan bentuk tak tentu.


$\begin{align*}f\left ( x \right )&=\frac{2x-4}{x^2-4}\\&=\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2}{x+2}\hspace{2cm}\text{dengan }x\ne 2\end{align*}$

sekarang, coba perhatikan grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas dengan grafik $f(x)=\frac{2}{x+2}$ berikut:

Ternyata, grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ dengan $f(x)=\frac{2}{x+2}$ identik, kecuali kepada hole-nya.

Cara Menentukan Asimtot Tegak (Vertical Asymptotes)

Langkah-langakahnya adalah sebagai berikut:

1. Faktorkan penyebut (dan pembilanganya lamun memungkinkan)
2. "coret" faktor yg sama kepada penyebut beserta pembilang. 
3. Bagian penyebut yg kita coret  penyebab hole, dan yg tidak kita coret dari sanalah kita menemukan asimtot tegaknya.

Contoh 1:

Tentukan asimtot tegak beserta hole pada fungsi $f(x)=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}$

Jawab:
$\begin{align*}f(x)&=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}\\&=\frac{(x-4)(2x+3)}{(x-4)(x-1)}\\&=\frac{2x+3}{x-1}, x\ne4\end{align*}$

Faktor yg sama kepada pembilang beserta penyebut adalah $x-4$, dengan demikian hole terjadi ketika $x=4$
Perhatikan penyebut kepada baris terakhir, yaitu $x-1$. Penyebut bernilai nol ketika $x=1$, dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=1$.

Contoh 2:
tentukan asimtot tegak beserta hole pada fungsi $f(x)=\frac{(3x+1)(x+4)}{(x-7)(x+4)}$.

Jawab:
Faktor yg sama kepada pembilang beserta penyebut adalah $x+4$, dengan demikian hole nya adalah $x=-4$
Perhatikan penyebut selain $(x+4)$, yaitu $x-7$, penyebut sama dengan nol ketika $x=7$ dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=7$.

Cara Menentukan Asimtot Datar, Asimtot Miring beserta Asimtot Kurva.

Misal diketahui fungsi rasional: $$f(x)=\frac{ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+k}{px^m+qx^{m-1}+rx^{m-2}+\cdots+z}$$
maka:

1. Jika $n\lt m$, maka asimtot datarnya adalah $y=0$.
2. Jika $n=m$, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$
3. Jika $n>m$, maka asimtotnya berupa asimtot miring maupun asimtot kurva.

Contoh 3:

Tentukan asimtot datar maupun asimtot miring dari fungsi $f(x)=\frac{12x^5+4x^2+1}{3x^6+5x^3+12}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang < derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=0$

Contoh 4:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring maupun asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{6x^3+2x^2+1}{3x^3+2x^2+2}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang = derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{6}{3}=2$

Contoh 5:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring maupun asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang > derajat (pangkat tertinggi) penyebut, asimtotnya berupa asimtot miring maupun asimtot kurva, cara menentukannya adalah dengan melakukan pembagian polinomial, hasil baginya merupakan persamaan asimtot.

$f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}=2x+\frac{2x-3}{x^2-1}$

maka asimtot nya adalah $y=2x$ (asimtot miring dengan gradien 2)

Contoh 6:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring maupun asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}$

Jawab:

$f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}=x^2+4x+4+\frac{5}{x}$

maka asimtotnya adalah $y=x^2+4x+4$ (asimtot kurva)

Demikianlah cara menentukan asimtot dari fungsi rasional, semoga bermanfaat.

Baca juga : Kesalahpahaman mengenai asimtot

$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 September 2020