Kesalahpahaman Mengenai Asimtot: Asimtot Bisa Berpotongan Dengan Kurva Pada Asimtot Tidak Selalu Garis Lurus

Tulisan kali terinspirasi dari soal SBMPTN Saintek 2020 (download soal SBMPTN 2020 dengan link ini). Dalam beberapa kode soal, kita menemukan soal tentang asimtot, baik asimtot tegak maupun asimtot datar dari fungsi rasional, sementara materi ini tidak diajarkan di sekolah. Atas dasar itu saya mencoba mempelajari dari berbagai sumber, lalu luar biasa ternyata saya menemukan hal-hal baru yg menarik tentang asimtot (lebih tepatnya saya pribadi yg baru mengetahuinya). Tulisan ini saya awali dengan dua pertanyaan yg mungkin bisa rekan-rekan jawab:

1. Menurut rekan-rekan apakah benar asimtot tidak pernah/tidak mungkin berpotongan dengan garis lengkung (kurva)?
2. Menurut rekan-rekan apakah benar asimtot selalu berupa garis lurus?

Awalnya saya pribadi beranggapan asimtot tidak pernah memotong garis lengkung (kurva) dan asimtot pasti berupa garis lurus. Namun ternyata saya KELIRU. 

Lho kok keliru? jadi yg benar bagai mana? 

Oke, sabar-sabar.... 

mari kita bandingkan asimtot secara definisi dengan fakta sebagai berikut:

Asimtot secara definisi

Asimtot menurut ensiklopedia matematika:

Asimtot adalah garis yang tidak pernah dipotong oleh suatu garis lengkung namun di dekati sampai tak terbatas.

Asimtot menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI):

Asimtot adalah garis lurus yg makin didekati oleh suatu lengkungan, tetapi tidak pernah dipotong.

Pada kedua definisi di atas tampak jelas menyatakan bahwa:

1. Asimtot tidak pernah dipotong oleh kurva.
2. Asimtot berupa garis lurus.

Sekarang, mari kita bandingkan dengan fakta berikut ini:

Fakta tentang Asimtot

Pada bagian ini, saya bakal menyajikan beberapa grafik fungsi rasional yg saya buat menggunakan aplikasi online dengan web www.symbolab.com lalu www.wolframalpha.com Sebagai pembanding, silakan rekan-rekan bisa mencoba juga menggunakan aplikasi lain

Fakta 1: "Kurva bisa memotong asimtot"

Kita ambil contoh salahsatu fungsi rasional $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, asimtotnya adalah sumbu $x$ maupun garis $y=0$, berikut ini grafik dari fungsi tersebut, bisa kita lihat bahwa fungsi tersebut memotong asimtot dengan $x=0$.

Apakah mungkin kurva memotong asimtot lebih dari satu kali? Jawabannya tentu saja mungkin. 

Sekarang, kita coba ambil fungsi $f(x)=\frac{x^2+4x+1}{x^3+1}$, lalu berikut ini grafiknya:

Perhatikan grafik di atas, kurva memotong asimtot sebanyak dua kali. Bahkan, kurva bisa memotong asimtot bisa lebih dari dua kali, contohnya grafik berikut:

Pada grafik fungsi di atas, kurva memotong asimtot beberapa kali.

Terkait dengan kurva beroleh memotong asimtot maupun tidak, seseorang menanyakan hal ini dengan sebuah forum matematika (mathforum.org), berikut ini jawaban Doctor Peterson mengenai pertanyaan tersebut:

Doctor Peterson mengatakan mengenai kurva tidak pernah memotong asimtot merupakan kesalahpahaman (miskonsepsi), mestinya penekanan definisi asimtot bukanlah dengan memotong maupun tidak memotong kurva, namun dengan mendekati kurva.

Nah, itulah beberapa bukti bahwa kurva bisa memotong asimtot, sekarang bagaimana dengan bentuk asimtot sendiri? apakah betul selalu berupa garis lurus? jawabannya, tidak. Anggapan bahwa asimtot selalu berupa garis lurus merupakan sebuah kesalahpahaman sama halnya dengan anggapan kita bahwa kurva dengan asimtot tidak pernah berpotongan.

Fakta 2: "Asimtot bisa berupa garis lengkung (kurva)"

Misal kita ambil fungsi rasional $f(x) =\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x} $,  dengan menggunakan wolframalpha, untuk fungsi tersebut, kita peroleh grafiknya sebagai berikut:

bisa kita lihat dengan grafik di atas, asimtot fungsi tersebut berupa parabola. 

Contoh lain, mari kita lihat grafik dari fungsi $f(x)=\frac{4x^8+5x^2}{x^3+10}$ sebagai berikut:

Perhatikan grafik di atas, asimtot dengan grafik di atas berupa fungsi polinomial derajat tiga. tentu bukan garis lurus (linear). 



Kesimpulan:

1. Kurva bisa memotong asimtot, kecuali asimtot tegak (alasan kenapa tidak pernah memotong asimtot tegak kita bahas dengan tulisan berikutnya).
2. Asimtot bisa berupa kurva. 

Baca juga: Cara menentukan asimtot fungsi rasional

Jika ada kritik/saran silakan isi komentar. Semoga bermanfaat:

$\blacksquare$ Denih Handayani, 30 Agustus 2020

kering

Cara Menentukan Asimtot Fungsi Rasional

beringsang

Masih berkaitan dengan artikel sebelumnya, kali ini pun kita masih membahas tentang asimtot, lebih tepatnya asimtot kepada fungsi rasional. Sebelum mempelajari materi ini, saya sarankan anda membaca artikel sebelumnya mengenai asimtot, maupun klik kepada link ini. 

Sebelum kita mulai materi bagaimana cara menentukan asimtot, mari kita paahami dulu beberapa istilah yg bakal kita gunakan, yaitu: asimtot, fungsi rasional, dan hole.

Apa Itu Asimtot?
Asimtot adalah suatu garis yg terus didekati oleh suatu kurva (garis lengkung) sampai jauh takhingga.

Banyak yg mengartikan, "didekati" artinya sama sekali tidak pernah memotong, namun itu keliru. Kurva bisa juga memotong asimtotnya. Namun meskipun memotong, kurva tetap terus mendekati asimtot ke arah $+\infty$ maupun $-\infty$. Biar lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Gamabar di atas, kurva mendekati asimtot ke arah $x$ menuju $-\infty$, kurva juga memotong asimtot kepada $x$ positif, hal ini mungkin terjadi, karena definisi asimtot sendiri penekanannya adalah kepada "kurva mendekati asimtot" bukan masalah memotong maupun tidak memotong. 

Asimtot terbagi menjadi 4 jenis (bentuk) yaitu:

1. Asimtot datar (Horizontal Asymtote)

Asimtot datar adalah asimtot yg  sejajar maupun berimpit dengan sumbu $x$.

2. Asimtot tegak (Vertical Asymtote)

Asimtot tegak adalah asimtot yg sejajar maupun berimpit dengan sumbu $y$.

3. Asimtot miring (Slant Asymtote atau Oblique Asymtote)

Asimtot miring adalah asimtot yg tidak sejajar dengan sumbu $x$ maupun sumbu $y$.

4. Asimtot kurva (Curvilinear Asymtote)

Asimtot kurva adalah asimtot yg tidak berupa garis lurus, melainkan sebuah kurva (garis lengkung) 

Apa Itu Fungsi Rasional?

$f(x)$ dikatakan sebagai fungsi rasional lamun memenuhi bentuk $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ dengan $g(x)$ beserta $h(x)$ merupakan polinomial. Atau dengan kata lain, fungsi rasional adalah fungsi yg berupa pecahan dengan penyebut beserta pembilang berupa polinomial.


Apa Itu "Hole"?
Secara bahasa "hole" bisa kita terjemahkan sebagai "lubang", maksudnya adalah lubang secara grafis. Perhatikan grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ berikut:

Pada grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas, hole (lubang) terbentuk ketika $x=2$, hal ini terjadi karena lamun kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$, maka kita peroleh $f(2)=\frac{0}{0}$ seperti yg kita ketahui $\frac{0}{0}$ merupakan bentuk tak tentu.


$\begin{align*}f\left ( x \right )&=\frac{2x-4}{x^2-4}\\&=\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2}{x+2}\hspace{2cm}\text{dengan }x\ne 2\end{align*}$

sekarang, coba perhatikan grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas dengan grafik $f(x)=\frac{2}{x+2}$ berikut:

Ternyata, grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ dengan $f(x)=\frac{2}{x+2}$ identik, kecuali kepada hole-nya.

Cara Menentukan Asimtot Tegak (Vertical Asymptotes)

Langkah-langakahnya adalah sebagai berikut:

1. Faktorkan penyebut (dan pembilanganya lamun memungkinkan)
2. "coret" faktor yg sama kepada penyebut beserta pembilang. 
3. Bagian penyebut yg kita coret  penyebab hole, dan yg tidak kita coret dari sanalah kita menemukan asimtot tegaknya.

Contoh 1:

Tentukan asimtot tegak beserta hole pada fungsi $f(x)=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}$

Jawab:
$\begin{align*}f(x)&=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}\\&=\frac{(x-4)(2x+3)}{(x-4)(x-1)}\\&=\frac{2x+3}{x-1}, x\ne4\end{align*}$

Faktor yg sama kepada pembilang beserta penyebut adalah $x-4$, dengan demikian hole terjadi ketika $x=4$
Perhatikan penyebut kepada baris terakhir, yaitu $x-1$. Penyebut bernilai nol ketika $x=1$, dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=1$.

Contoh 2:
tentukan asimtot tegak beserta hole pada fungsi $f(x)=\frac{(3x+1)(x+4)}{(x-7)(x+4)}$.

Jawab:
Faktor yg sama kepada pembilang beserta penyebut adalah $x+4$, dengan demikian hole nya adalah $x=-4$
Perhatikan penyebut selain $(x+4)$, yaitu $x-7$, penyebut sama dengan nol ketika $x=7$ dengan demikian asimtot tegaknya adalah $x=7$.

Cara Menentukan Asimtot Datar, Asimtot Miring beserta Asimtot Kurva.

Misal diketahui fungsi rasional: $$f(x)=\frac{ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+k}{px^m+qx^{m-1}+rx^{m-2}+\cdots+z}$$
maka:

1. Jika $n\lt m$, maka asimtot datarnya adalah $y=0$.
2. Jika $n=m$, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$
3. Jika $n>m$, maka asimtotnya berupa asimtot miring maupun asimtot kurva.

Contoh 3:

Tentukan asimtot datar maupun asimtot miring dari fungsi $f(x)=\frac{12x^5+4x^2+1}{3x^6+5x^3+12}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang < derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=0$

Contoh 4:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring maupun asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{6x^3+2x^2+1}{3x^3+2x^2+2}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang = derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{6}{3}=2$

Contoh 5:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring maupun asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang > derajat (pangkat tertinggi) penyebut, asimtotnya berupa asimtot miring maupun asimtot kurva, cara menentukannya adalah dengan melakukan pembagian polinomial, hasil baginya merupakan persamaan asimtot.

$f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}=2x+\frac{2x-3}{x^2-1}$

maka asimtot nya adalah $y=2x$ (asimtot miring dengan gradien 2)

Contoh 6:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring maupun asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}$

Jawab:

$f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}=x^2+4x+4+\frac{5}{x}$

maka asimtotnya adalah $y=x^2+4x+4$ (asimtot kurva)

Demikianlah cara menentukan asimtot dari fungsi rasional, semoga bermanfaat.

Baca juga : Kesalahpahaman mengenai asimtot

$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 September 2020