Menentukan Banyaknya Faktor Positif Suatu Bilangan Asli

Misalnya kita mau menentukan banyaknya faktor positif dari 180 mungkin cara/ide yg terlintas di fikiran kita adalah dengan cara mendaftar bahwa faktor positif dari 180 adalah  1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180. dari daftar tersebut kita bisa melihat ternyata banyaknya faktor positif dari 180 adalah 18 faktor. Cara ini tidak salah, namun kurang efisien karena mau memakan waktu yg lebih lama bersama tentu memiliki tingkat kekeliruan yg lebih tinggi (beresiko ada faktor yg terlewat saat mendaftar).

Baiklah, sekarang kita mau gunakan cara yg lain. Jika kita perhatikan faktorisasi prima dari 180 yaitu maka kita beroleh menyatakan setiap faktor tersebut dalam bentuk  dengan a = 0, 1, 2 , b = 0, 1, 2 dan c = 0, 1.  Selanjutnya, kita gunakan aturan perkalian.

Dari faktorisasi prima di atas, kita beroleh melihat bahwa untuk menentukan banyaknya faktor positif dari 180  dapat dilakukan dengan tiga langkah :

pertama, memilih pangkat dari 2 beroleh dilakukan dengan 3 cara

kedua, memilih pangkat dari 3 beroleh dilakukan dengan 3 cara

ketiga, memilih pangkat dari 5 beroleh dilakukan dengan 2 cara

sehingga dengan aturan perkalian, banyaknya faktor positif dari 180 adalah .

Cara menghitung banyaknya faktor positif dari sembarang bilangan asli n dapat kita perumum sebagai berikut:

Contoh:

1. Tentukan banyaknya faktor positif dari 12.600
2. Tentukan banyaknya faktor positif genap dari 12.600
3. Tentukan banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600

Jawab:

1. Kita beroleh melihat bahwa faktorisasi prima dari 12.600 adalah 
, jadi banyaknya faktor positif dari 12.600 adalah :

2. Faktor positif genap dari 12.600 beroleh di nyatakan sebagai  dengan a = 1, 2, 3, b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif genap dari 12.600 adalah:

3. Banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah banyaknya semua faktor positif dikurangi banyaknya faktor positif genap. Jadi, banyaknya faktor positif ganjil adalah :

cara lain adalah dengan menghitung banyaknya kemungkinan bentuk  dengan a = 0,  b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 adalah :

Mohon koreksi jikalau ada kekeliruan (silahkan isi komentar). Semoga bermanfaat

Baca juga : Cara menentukan jumlah semua faktor positif suatu bilangan

Menentukan Jumlah Semua Faktor Positif Suatu Bilangan

Setelah kemarin cara menentukan banyaknya faktor bulat positif suatu bilangan asli maka dengan kesempatan ini MATH-LAB akan berbagi cara menentukan Jumlah semua faktor bulat positif suatu bilangan asli.

dedar

Misalnya kita bakal menentukan jumlah semua faktor positif dari 48, 

faktor-faktor positif dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 maka jumlah semua faktor bulat positifnya adalah: 

Jika bilangannya kecil kita bisa menghitungnya secara manual, maksudnya dengan cara mendaftar kemudian menjumlahkannya, lalu klo angkanya besar? nah itu bakal jadi masalah :)

Baiklah, langsung saja MATH-LAB akan berbagi cara lain yang tentunya lebih efektif bersama efisien untuk menentukan jumlah semua faktor bulat positif semua bilangan, inilah formula yg bakal kita gunakan, perhatikan bersama ingat baik-baik :

Sekarang kita coba selesaikan soal yg tadi menggunakan formula di atas:

Faktorisasi prima dari 48 adalah , maka jumlah semua faktor bulat positif dari 48 adalah:

Bisa dilihat hasil yg kita peroleh sama dengan hasil perhitungan dengan cara sebelumnya.

Sekarang kita coba untuk menentukan jumlah semua faktor positif dari 12.600.

dari pembahasan sebelumnya disini kita sudah pernah mengetahui bahwa 12.600 memiliki sebanyak 72 faktor positif. 

Faktosisasi prima dari 12.600 adalah , maka jumlah semua faktor positif dari 12.600 adalah

Gampang Kan?!

Oke dengan kesempatan kali ini itu saja yang MATH-LAB bagikan, kritik saran maupun koreksi silahkan isi komentar maupun email ke : denih.handayani@gmail.com

Teorema Binomial

Masih ingat dengan Kombinasi pada materi Kombinatorik? yups, dengan kombinatorik agak diketahui bahwa kombinasi adalah banyaknya cara mengambil $r$ objek dari sekumpulan $n$ objek tanpa memperhatikan urutan, becus ditulis:

kolor

$$C(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$

namun, dalam ekspansi binomial, kombinasi ini sering dilambangkan dengan:

$$\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}=\frac{n!}{\left ( n-r \right )!r!}$$

disebut sebagai koefisien binomial, karena menyatakan koefisien-koefisien setiap suku dengan hasil penjabaran binomial.

untuk lebih memahaminya, perhatikan penjelasan berikut.

seandainya kita mencoba menjabarkan bentuk $(x+y)^n$, dengan $n$ bilangan bulat positif, kita perhatikan bahwa bentuk ini becus kita tuliskan sebagai perkalian sebanyak $n$ faktor dari $(x+y)$. Untuk membentuk suatu suku dengan hasil perkalian ini, kita harus memilih salah satu dari $x$ ataupun $y$ dari masing-masing faktor. Dengan kata lain, sebagian faktor menyumbangkan $x$ beserta sebagian lagi menyumbangkan $y$. Banyaknya faktor yg menyumbangkan $y$ merupakan suatu bilangan bulat, misal $r$ dengan $0\leq r\leq n$, beserta faktor yg tersisa yaitu sebanyak $n-r$ menyumbangkan $x$, sehingga membentuk suku $x^{n-r}y^{r}$, oleh karena itu, banyaknya suku yg berbentuk  $x^{n-r}y^{r}$ ini sama dengan banyaknya cara kita memilih sejumlah $r$ variabel variabel $y$ dari $n$ variabel $y$ yg tersedia dengan setiap faktor. Jadi, koefisien $x^{n-r}y^{r}$ adalah $\binom{n}{r}$

Oleh karena itu, bentuk $(x+y)^{n}$ becus kita tulis dalam bentuk ekspansi sebagai berikut:$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$

inilah yg disebut dengan teorema binomial.

Teorema Binomial:
Misalakan $x$ beserta $y$ adalah variabel, beserta $n$ adalah bilangan bulat positif,  maka:
$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$
atau becus pula di tulis:
$$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$

Contoh 1:
Ekspansikan binomial $(x+2y)^4$

Jawab:
$\begin{align*}(x+2y)^4&=\binom{4}{0}x^4+\binom{4}{1}x^3(2y)+\binom{4}{2}x^2(2y)^2+\binom{4}{3}x(2y)^3+\binom{4}{4}(2y)^4\\&=x^4+4x^3(2y)+6x^2(2y)^2+4x(2y)^3+(2y)^4\\&=x^4+8x^3y+6x^2(4y^2)+4x(8y^3)+16y^4\\&=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4\end{align*}$

Contoh 2:
Ekspansikan binomial $(2x-y)^3$

Jawab:
$\begin{align*}(2x-y)^3&=\left( 2x+(-y)\right)^3\\&=\binom{3}{0}(2x)^3+\binom{3}{1}(2x)^2(-y)+\binom{3}{2}(2x)(-y)^2+\binom{3}{3}(-y)^3\\&=(2x)^3+3(2x)^2(-y)+3(2x)(-y)^2+(-y)^3\\&=8x^3+3(4x^2)(-y)+3(2x)(y^2)-y^3\\&=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\end{align*}$


Menentukan Suku Dan Koefisien Binomial

Dari formula binomial :
$$(x+y)^n=\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}{x^{n-r}y^r}$$
suku ke $k$ dari hasil penjabarannya becus ditentukan sebagai berikut:
$$\boxed{\binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)}y^{(k-1)}}$$

Sekarang kembali perhatikan contoh 1 di atas, bentuk $(x+2y)^4$ setelah kita jabarkan, kita peroleh:$$(x+2y)^4=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$$
Suku-suku dengan ekspansi binomial $(x+2y)^4$ adalah :
suku ke-1: $x^4$ dengan koefisien $1$
suku ke-2 : $8x^3y$ dengan koefisien $8$
suku ke-3 : $24x^2y^2$ dengan koefisien $24$
suku ke-4 : $32xy^3$ dengan koefisien $32$
suku ke-5 : $16y^4$ dengan koefisien $16$

Jika kita ingin menentukan suku tertentu saja, kita tidak perlu menjabarkan secara keseluruhan, namun kita cukup menggunakan formula yg agak diberikan di atas. Misal, kita bakal menentukan suku ke-3 dari $(x+2y)^4$:
$\begin{align*}\binom{n}{k-1}x^{n-(k-1)}(2y)^{(k-1)}&=\binom{4}{3-1}x^{4-(3-1)}(2y)^{(3-1)}\\&=\binom{4}{2}x^2(2y)^2\\&=6x^2.4y^2\\&=24x^2y^2\end{align*}$

Contoh 3:
Tentukan suku ke-$3$ dari $(2x-3y)^5$ beserta tentukan nilai koefisiennya

Jawab:
Suku ke-3 artinya $k=3$
$\begin{align*}\binom{n}{k-1}(2x)^{5-(3-1)}(-3y)^{(3-1)}&=\binom{5}{2}(2x)^{3}(-3y)^2\\&=10(8x^3)(9y^2)\\&=720x^3y^2\end{align*}$
Jadi suku ke-3 dari $(2x-3y)^5$ adalah $720x^3y^2$ dengan nilai koefisien $720$

kolor
kolor Contoh 4:
Tentukan koefisien $x^2$ dari hasil ekspansi $(3x-2)^9$ beserta tentukan dengan suku ke berapa suku tersebut berada

Jawab:
$x^2=x^{9-(k-1)}\rightarrow 2=10-k\rightarrow k=8$

$\begin{align*}\binom{9}{8-1}(3x)^{9-(8-1)}(-2)^{(8-1)}&=\binom{9}{7}(3x)^2(-2)^7\\&=36(9x^2)(-128)\\&=-41472x^2\end{align*}$

Jadi, dengan ekspansi $(3x-2)^9$, $x^2$ terletak dengan suku ke 8 dengan nilai koefisien $-41.472$.

Contoh 5:
Tentukan koefisien $x^4$ dari hasil ekspansi $\left (2x^2+\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^7$

Jawab:

$(2x^2+\frac{1}{\sqrt{x}})^7=(2x^2+x^{-\frac{1}{2}})^7$
maka:
$\begin{align*}(x^2)^{7-(k-1)}\left (x^{-\frac{1}{2}}\right )^{k-1}&=x^4\\(x^2)^{8-k}x^{-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}&=x^4\\x^{16-2k}x^{-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}&=x^4\\x^{\frac{33-5k}{2}}&=x^4\end{align*}$

$\frac{33-5k}{2}=4\rightarrow k=5$

$\begin{align*}\binom{7}{5-1}(2x^2)^{7-(5-1)}(x^{-\frac{1}{2}})^{5-1}&=\binom{7}{4}(2x^2)^3x^{-2}\\&=35(8x^6)(x^{-2})\\&=280x^4\end{align*}$

Jadi, koefisien $x^4$ adalah $280$.

$\blacksquare$ Denih Handayani, 2020 Save as Pdf