Cara Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Aljabar Lengkap Dengan Contoh Soal Lagi Pemabahaasan

kolor

Bagi adik-adik yg sedang mempelajari materi Limit, dengan kesempatan ini kakak bakal membahas materi tersebut. Namun, materi limit ini bakal kakak bagi ke dalam 3 postingan terpisah yaitu Limit fungsi aljabar mendekati nilai tertentu, Limit fungsi trigonometri, dan Limit mendekati tak hingga. Pada postingan ini, kita bakal belajar tentang limit fungsi aljabar mendekati nilai tertentu dilengkapi dengan contoh soal bersama pembahasan.

Cara Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar

untuk menghitung nilai $\lim_{x\to a}{f(x)}$ langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Pertama, substitusikan nilai $x=a$ ke dalam $f(x)$, sehingga diperoleh nilai $f(a)$. Jika $f(a)$ merupakan bentuk tentu, maka  $\lim_{x\to a}{f(x)}=f(a)$

Contoh:

$\lim_{x\to 2}{\frac{x^2-4}{x^3+1}}=\frac{2^2-4}{2^3+1}=\frac{4-4}{9}=\frac{0}{9}=0$

Kedua, andaikata $f(a)$ merupakan bentuk tak tentu (bentuk tak tentu diantaranya : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0^\infty$), maka $f(x)$ harus diubah sedemikian rupa sehingga bentuk $f(a)$ merupakan bentuk tentu.

Contoh:

$\lim_{x\to 2}{\frac{x^3-4x}{x-2}}=$ .....

Soal di atas, andaikata kita substitusi $x=2$ maka bakal kita peroleh $\frac{0}{0}$. Untuk menyelesaikannya maka kita harus merubah bentuk fungsinya terlebih dahulu, bisa dengan cara memfaktorkan alias dengan menggunakan turunan (jika sedia mempelajari materi turunan)

kolor kolor

Penyelesaian dengan cara memfaktorkan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 2}{\frac{x^3-4x}{x-2}}&=\lim_{x\to 2}{\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2}}\\&=\lim_{x\to 2}{x(x+2)}\\&=2(2+2)\\&=8\end{align*}$

Penyelesaian dengan menggunakan turunan:

$\lim_{x\to a}{\frac{f(a)}{g{a}}}=\lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

$\begin{align*}\lim_{x\to 2}{\frac{x^3-4x}{x-2}}&=\lim_{x\to 2}{\frac{3x^2-4}{1}}\\&=\lim_{x\to 2}{3x^2-4}\\&=3(2^2)-4\\&=12-4\\&=8\end{align*}$

Sifat-sifat Limit

Jika $\lim_{x\to a}{f(x)}=F$ bersama $\lim_{x\to a}{g(x)}=G$ maka:

1. $\lim_{x\to a}{\left(f(x)\pm g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\pm \lim_{x\to a}{g(x)}=F\pm G$
2. $\lim_{x\to a}{\left(f(x).g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}.\lim_{x\to a}{g(x)}=F.G$
3. $\lim_{x \to a}{\left(k.f(x)\right)}=k.\lim_{x\to a}{f(x)}=k.F$
4. $\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\frac{F}{G}, G\ne 0$
5. $\lim_{x\to a}{\left(f(x)\right)^n}=\left(\lim_{x\to a}{f(x)}\right)^n$

Contoh Soal bersama Pembahasan :

Contoh 1

Nilai $\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}=$ ....

A. $-8$

B. $-6$

C. $6$

D. $8$

E. $\infty$

Penyelesaian dengan cara kali sekawan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}&=\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}\times \frac{4+\sqrt{5x+1}}{4+\sqrt{5x+1}} \\&=\lim_{x\to 3}\frac{\left ( x^2-x-6 \right )\left ( 4+\sqrt{5x+1} \right )}{4^2-\left (\sqrt{5x+1}\right )^2}\\&=\lim_{x\to3}{\frac{(x-3)(x + 2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5x+15}}\\&=\lim_{x\to3}{\frac{(x-3)(x+2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5(x-3)}}\\&=\lim_{x\to3}{\frac{(x+2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5}}\\&=\frac{(3+2)(4+\sqrt{16})}{-5}\\&=-8\end{align*}$

Penyelesaian dengan menggunakan turunan (Dalil L'Hopital):

Bagi yg sudah mempelajari turunan (diferensial), menyelesaikan soal limit menggunkan turunan bakal jauh lebih cepat bersama efektif.

Untuk soal limit yg mengandung bentuk akar seperti soal di atas, gunakan cara cepat menurukan akar sebagai berikut:
$$f(x)=\sqrt{g(x)}\Rightarrow f'(x)=\frac{g'(x)}{2.g(x)} $$
Maka penyelesaiak soal limit di atas adalah :

$\begin{align*}\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}&=\lim_{x\to3}{\frac{2x-1}{-\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}}}\\ &=\frac {2(3)-1}{-\frac{5}{2\sqrt{16}}}\\&=\frac{5}{-\frac{5}{8}}\\&=-8\end{align*}$

kolor kolor

Contoh 2

$lim_{x\to 3}{\frac{\sqrt{6x-2}-\sqrt{3x+7}}{x-3}}=$ ....
A. $0$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $1$
E. $\frac{9}{8}$

Pembahasan Dengan menggunakan turunan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 3}{\frac{\sqrt{6x-2}-\sqrt{3x+7}}{x-3}}&=\lim_{x\to 3}{\frac{\frac{6}{2\sqrt{6x-2}}-\frac{3}{2\sqrt{3x+7}}}{1}}\\&=\lim_{x\to 3}{\frac{3}{\sqrt{6x-2}}-\frac{3}{2\sqrt{3x+7}}}\\&=\frac{3}{4}-\frac{3}{8}\\&=\frac{6-3}{8}\\&=\frac{3}{8}\end{align*}$

Jika dirasa masih belum cukup jelas, silakan pelajari video berikut:

Semoga bermanfaat