Cara Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Aljabar Lengkap Dengan Contoh Soal Lagi Pemabahaasan

kolor

Bagi adik-adik yg sedang mempelajari materi Limit, dengan kesempatan ini kakak bakal membahas materi tersebut. Namun, materi limit ini bakal kakak bagi ke dalam 3 postingan terpisah yaitu Limit fungsi aljabar mendekati nilai tertentu, Limit fungsi trigonometri, dan Limit mendekati tak hingga. Pada postingan ini, kita bakal belajar tentang limit fungsi aljabar mendekati nilai tertentu dilengkapi dengan contoh soal bersama pembahasan.

Cara Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar

untuk menghitung nilai $\lim_{x\to a}{f(x)}$ langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Pertama, substitusikan nilai $x=a$ ke dalam $f(x)$, sehingga diperoleh nilai $f(a)$. Jika $f(a)$ merupakan bentuk tentu, maka  $\lim_{x\to a}{f(x)}=f(a)$

Contoh:

$\lim_{x\to 2}{\frac{x^2-4}{x^3+1}}=\frac{2^2-4}{2^3+1}=\frac{4-4}{9}=\frac{0}{9}=0$

Kedua, andaikata $f(a)$ merupakan bentuk tak tentu (bentuk tak tentu diantaranya : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0^\infty$), maka $f(x)$ harus diubah sedemikian rupa sehingga bentuk $f(a)$ merupakan bentuk tentu.

Contoh:

$\lim_{x\to 2}{\frac{x^3-4x}{x-2}}=$ .....

Soal di atas, andaikata kita substitusi $x=2$ maka bakal kita peroleh $\frac{0}{0}$. Untuk menyelesaikannya maka kita harus merubah bentuk fungsinya terlebih dahulu, bisa dengan cara memfaktorkan alias dengan menggunakan turunan (jika sedia mempelajari materi turunan)

kolor kolor

Penyelesaian dengan cara memfaktorkan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 2}{\frac{x^3-4x}{x-2}}&=\lim_{x\to 2}{\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2}}\\&=\lim_{x\to 2}{x(x+2)}\\&=2(2+2)\\&=8\end{align*}$

Penyelesaian dengan menggunakan turunan:

$\lim_{x\to a}{\frac{f(a)}{g{a}}}=\lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

$\begin{align*}\lim_{x\to 2}{\frac{x^3-4x}{x-2}}&=\lim_{x\to 2}{\frac{3x^2-4}{1}}\\&=\lim_{x\to 2}{3x^2-4}\\&=3(2^2)-4\\&=12-4\\&=8\end{align*}$

Sifat-sifat Limit

Jika $\lim_{x\to a}{f(x)}=F$ bersama $\lim_{x\to a}{g(x)}=G$ maka:

1. $\lim_{x\to a}{\left(f(x)\pm g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\pm \lim_{x\to a}{g(x)}=F\pm G$
2. $\lim_{x\to a}{\left(f(x).g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}.\lim_{x\to a}{g(x)}=F.G$
3. $\lim_{x \to a}{\left(k.f(x)\right)}=k.\lim_{x\to a}{f(x)}=k.F$
4. $\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\frac{F}{G}, G\ne 0$
5. $\lim_{x\to a}{\left(f(x)\right)^n}=\left(\lim_{x\to a}{f(x)}\right)^n$

Contoh Soal bersama Pembahasan :

Contoh 1

Nilai $\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}=$ ....

A. $-8$

B. $-6$

C. $6$

D. $8$

E. $\infty$

Penyelesaian dengan cara kali sekawan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}&=\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}\times \frac{4+\sqrt{5x+1}}{4+\sqrt{5x+1}} \\&=\lim_{x\to 3}\frac{\left ( x^2-x-6 \right )\left ( 4+\sqrt{5x+1} \right )}{4^2-\left (\sqrt{5x+1}\right )^2}\\&=\lim_{x\to3}{\frac{(x-3)(x + 2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5x+15}}\\&=\lim_{x\to3}{\frac{(x-3)(x+2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5(x-3)}}\\&=\lim_{x\to3}{\frac{(x+2)(4+\sqrt{5x+1})}{-5}}\\&=\frac{(3+2)(4+\sqrt{16})}{-5}\\&=-8\end{align*}$

Penyelesaian dengan menggunakan turunan (Dalil L'Hopital):

Bagi yg sudah mempelajari turunan (diferensial), menyelesaikan soal limit menggunkan turunan bakal jauh lebih cepat bersama efektif.

Untuk soal limit yg mengandung bentuk akar seperti soal di atas, gunakan cara cepat menurukan akar sebagai berikut:
$$f(x)=\sqrt{g(x)}\Rightarrow f'(x)=\frac{g'(x)}{2.g(x)} $$
Maka penyelesaiak soal limit di atas adalah :

$\begin{align*}\lim_{x\to 3}{\frac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}}}&=\lim_{x\to3}{\frac{2x-1}{-\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}}}\\ &=\frac {2(3)-1}{-\frac{5}{2\sqrt{16}}}\\&=\frac{5}{-\frac{5}{8}}\\&=-8\end{align*}$

kolor kolor

Contoh 2

$lim_{x\to 3}{\frac{\sqrt{6x-2}-\sqrt{3x+7}}{x-3}}=$ ....
A. $0$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $1$
E. $\frac{9}{8}$

Pembahasan Dengan menggunakan turunan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 3}{\frac{\sqrt{6x-2}-\sqrt{3x+7}}{x-3}}&=\lim_{x\to 3}{\frac{\frac{6}{2\sqrt{6x-2}}-\frac{3}{2\sqrt{3x+7}}}{1}}\\&=\lim_{x\to 3}{\frac{3}{\sqrt{6x-2}}-\frac{3}{2\sqrt{3x+7}}}\\&=\frac{3}{4}-\frac{3}{8}\\&=\frac{6-3}{8}\\&=\frac{3}{8}\end{align*}$

Jika dirasa masih belum cukup jelas, silakan pelajari video berikut:

Semoga bermanfaat

Notasi Sigma - Konsep, Sifat-Sifat, Beringsang Contoh Soal Lagi Pembahasan

panas

Salah satu ciri khas matematika penggunaan lambang yg singkat untuk menampilkan suatu ungkapan yg panjang, salah satunya adalah notasi sigma $\left( \sum \right)$.

Secara sederhana, sigma bisa kita artikan sebagai jumlah. Penggunaan notasi sigma sebagai operator penjumlahan sangat erat kaitannya dengan deret suatu bilangan. Notasi sigma beroleh digunakan untuk menyederhanakan penulisan deret suatu bilangan terurut dengan pola tertentu dengan ringkas bersama sederhana.

Bagaimana kita menulis ungkapan seperti di bawah ini?

1. $2+4+6+8+10+\cdots+1000$
2. $1+5+7+9+11+\cdots+2020$
3. $1+9+16+25+36+...+1.000.00$

Dari contoh di atas, ternyata memang sangat memerlukan suatu notasi alias lambang untuk menyatakan penjumlahan teratur yg sangat panjang, yaitu dengan notasi sigma $\displaystyle\left(\sum\right)$ yg didefinisikan sebagai berikut:

$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$

Keterangan:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ dibaca jumlah dari $a_k$ untuk $k$ dari 1 sampai $n$

$k$ disebut sebagai indeks (penunjuk) dari suku $a_k$

$a_k$ disebut sebagai suku ke-$k$

$k=1$ disebut sebagai batas bawah

$k=n$ desebut sebagai batas atas

Catatan:

indeks (penunjuk) tidak harus selalu menggunkan $k$, kita boleh menggunkan variabel lain, misal:

$\displaystyle\sum_{p=1}^{n} a_p$  alias $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$ bersama sebagainya

panas

Menentukan Nilai Penjumlahan yg Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$

Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)$

Jawab:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)=3+5+7+\cdots+21$

Perhatikan, deret tersebut merupakan deret aritmetika. Jadi, untuk menentukan jumlahnya mau lebih panas gembur coba kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ dengan $a$ suku pertama bersama $U_n$ suku terakhir, maka:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}(2i+1)&=\frac{10}{2}(3+21)\\&=5(24)\\&=120\end{align*}$ 

Contoh 3:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$

Jawab:

Karena $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$ merupakan deret aritmetika, maka kita bisa menggunkan cara yg sama dengan contoh 2 di atas:

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{7}(3k-1)&=\frac{7}{2}(2+20)\\&=\frac{7}{2}(22)\\&=77\end{align*}$

Menulis Deret Bilangan dalam Notasi Sigma

Contoh 1:

Tuliskan dalam notasi sigma:

$$4+5+6+7+8+\cdots+100$$

Jawab:

$\displaystyle 4+5+6+\cdots+100=\sum_{k=4}^{100}(a_k)$

Sifat-sifat Notasi Sigma

Berikut ini bebrapa sifat notasi sigma:

panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas

No	Sifat Notasi Sigma
1	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C=n.C$
2	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C.a_k=C\sum_{k=1}^{n}a_k$
3	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right)+a_n$
4	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k$
5	$\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+p}^{n+p} a_{k-p}$
6	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{m+1}^{n}a_k$
7	$\displaystyle\sum_{k=n}^{n}a_k=a_n$
8	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-s}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=n-s+1}^{n}a_k$
9	$\displaystyle\sum_{k=1}^{0}a_k=0$
10	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^2\pm 2\sum_{k=1}^{n}a_k .b_k+\sum_{k=1}^{n}b_k^2$

Contoh Soal:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$

Jawab:

Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$

Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai notasi sigma, semoga bermanfaat.

Download file pdf artikel ini

• DOWNLOAD SOAL LIMIT

Konsep, Soal Beserta Pembahasan Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika, selain Induksi Matematika ada beberapa metode lain yg biasa digunakan dalam pembuktian kebenaran suatu pernyataan seperti pembuktian langsung, pembuktian tak lanngsung, trivial, beserta sebagainya. Namun dalam tulisan ini kita hanya mau membahas metode pembuktian dengan induksi matematika, dimana materi ini sudah di pelajari sejak SMA (untuk kurikulum 2013, induksi matematika dipelajari di kelas XI matematika wajib)

Sebelumnya, saya pernah membuat tulisan mengenai konsep dasar mengenai induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, beserta induksi matematika kuat  .  

Maksud dari induksi matematika adalah membuktikan sesuatu yg umum, diturunkan dari beberapa hal yg khusus, beserta cara ini berlaku untuk semua $n$ bilangan asli.

Untuk membuktikan bahwa suatu rumus berlaku untuk semua bilangan asli, cara pembuktiannya diperlukan 2 tahapan, yaitu:

1. Tunjukkan benar untuk $n=1$
2. Tunjukkan benar untuk $n=k$ beserta benar juga untuk $n=k+1$

Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka rumus tersebut benar untuk setian $n\in N$.

Berikut ini saya sajikan beberapa contoh pembuktian dengan induksi matematika meliputi pembuktian deret bilangan beserta pembuktian pertidaksamaan

demam

Pembuktian Deret Bilangan dengan Induksi Matematika

Untuk contoh soal no 1 sampai no 3 saya bahas dengan menggunakan notasi sigma, jadi sebaiknya pelajari dulu konsep beserta sifat-sifat notasi sigma disini

---

Contoh 1 

Buktikan bahwa jumlah $n$ suku pertama bilangan ganjil adalah $n^2$

 Pembahasan:

Pernyataan kepada soal di atas bisa ditulis:

$\begin{align*}1+3+5+\cdots+(2n-1)&=n^2\\\sum_{i=1}^{n}\left(2i-1\right )&=n^2\end{align*}$ 

Langkah 1

Untuk $n=1$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=1=1^2$ (Benar)

Langkah 2

Misalkan pernyataan di atas berlaku untuk $n=k$, maka:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(2i-1)=k^2$   (Hipotesis)

Berdasarkan hipotesis diatas, mau kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar juga untuk $n=k+1$, maka haruslah $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1)=(k+1)^2$

kita mau bekerja di ruas kiri

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)&=\sum_{i=1}^{k}(2i-1)+\sum_{i=k+1}^{k+1}(2i-1)\\&=k^2+\left\{ 2(k+1)-1\right \}\\&=k^2+2k+1\\&=(k+1)^2\end{align*}$

Karena pernyataan di atas benar untuk $n=1$ beserta $n=k+1$, maka $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ adalah benar.

---

 Contoh 2:
Buktikan bahwa:
$1^2+2^2+3^2+\cdots+n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

 Pembahasan:
Pernyataan kepada soal di atas bisa ditulis:
$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
Langkah 1
Untuk $n=1$, 
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{1}i^2&=\frac{1}{6}(1)(1+1)(2+1)\\1&=1\space\text{         (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ maka haruslah
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1} i^2&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{ (k+1)+1\right \} \left\{ 2(k+1)+1\right \} \\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

Bukti:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i^2&=\sum_{i=1}^{k}i^2+\sum_{i=k+1}^{k+1}i^2\\&=\left(\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)\right)+(k+1)^2\\&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{k(2k+1)+6(k+1)\right\}\\&=\frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6k+6)\\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$

---

 Contoh 3:
Buktikan $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka 
$\frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$   (Benar)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k}{2}(k+1)$  (Hipotesis)

Untuk $n=k+1$ jumlahnya haruslah:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\frac{k+1}{2}\left\{(k+1)+1 \right\}\\&=\left(\frac{k+1}{2}\right)(k+2)\end{align*}$

Bukti:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{i=k+1}^{k+1}i\\&=\frac{k}{2}(k+1)+(k+1)\\&=\left(\frac{k}{2}+1\right)(k+1)\end{align*}$

---

Contoh 4:
Buktikan bahwa $\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2$

Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1^3&=\frac{1}{4}(1^2)(1+1)^2\\1&=\frac{1}{4}(1)(4)\\1&=1\space\text{      (Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misalkan benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2$

akan dibuktikan untuk $n=k+1$

$\begin{align*}1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2((k+1)+1)^2\\ \frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2 \end{align*}$

Tips : Jika ada karakter/persamaan matematika kepada tulisan ini yg tidak tampil sempurna maupun terpotong karena anda membuka laman ini melelui mobile (android), masalah karena resolusi yg tidak memadai, sebaiknya kunjungi laman ini menggunakan PC/laptop. Jika menggunakan handphone sebaiknya dalam posisi landscape

---

Contoh 5
Buktikan bahwa $\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(n.n!)=(n+1)!-1$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1.1!&=(1+1)!-1\\1.1&=2!-1\\1&=2-1\\1&=1\space\space\space\text{(Benar)}\end{align*}$

Langkah 2
Misal benar untuk $n=k$, yaitu:

$\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)=(k+1)!-1$

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}(1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)+\left((k+1)(k+1)!\right)&=\left((k+1)+1\right)!-1\\(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!&=(k+2)!-1\\(k+1)!(1+k+1)-1&=(k+2)!-1\\(k+1)!(k+2)-1&=(k+2)!-1\\(k+2)!-1&=(k+2)!-1\end{align*}$

demam


Pembuktian Keterbagian dengan Induksi Matematika

---

Contoh 6
Buktikan untuk $n\in$ bilangan asli $4^n-1$ habis dibagi 3

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka:
$4^1-1=3$  (habis dibagi 3)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, maka $4^k-1$ habis dibagi 3 (hipotesis)

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{k+1}-1&=4.4^k-1\\&=3.4^k+4^k-1\\&=3.4^k+\left(4^k-1\right)\end{align*}$

Jelas $3.4^k$ merupakan kelipatan 3 beserta berdasarkan hipotesis $4^k-1$ merupakan kelipatan 3, maka terbukti bahwa $4^n-1$ habis dibagi 3 untuk $n\in $ bilangan asli

---

 Contoh 7
Buktikan $\displaystyle a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Karena $(a-b)(a+b)$ habis dibagi $(a+b)$, maka pernyataan tersebut benar untuk $n=1$

Langkah 2
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$.

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}a^{2(k+1)-b^{2(k+1)}}&=a^{2k+2}-b^{2k+2}\\&=a^2(a^{2k}-b^{2k})+b^{2k}(a^2-b^2)\end{align*}$

Karena $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$ beserta $a^2-b^2$ juga habis dibagi $(a+b)$, maka $a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$

Baca: Download Bank soal induksi matematika format pdf

---

Contoh 8
Buktikan $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$
$4^{1+1}-4=4^2-4=16-4=12$     (habis dibagi 12)

Langkah 2
Misal pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu:
$4^{k+1}-4$ habis dibagi 12

Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{(k+1)+1}-4&=4^{k+2}-4\\&=16.4^k-4\\&=12.4^k+4.4^k-4\\&=12.4^k+(4^{k+1}-4)\end{align*}$

Karea $12.4^k$  beserta $4^{k+1}-4$ habis dibagi 12, maka $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12

---

 Contoh 9:
Buktikan bahwa $P(n)=n(n+1)(n+5)$  habis dibagi 3

 Pembahasan:

Langkah 1
Untuk $n=1$, maka 
$P(1)=1(1+1)(1+5)=12$    (habis dibagi 3)

Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$,  maupun dengan kata lain $P(k)$ merupakan kelipatan 3,

$P(k)=k(k+1)(k+5)=k^3+6k^2+5k$ 

Akan dibuktikan bahwa $P(k+1)$ merupakan kelipatan 3:

$\begin{align*}P(k+1)&=(k+1)\left((k+1)+1\right)\left((k+1)+5\right)\\&=(k+1)(k+2)(k+6)\\&=k^3+9k^2+10k+12\\&=(k^3+6k^2+5k)+(3k^2+15k+12)\\&=(k^3+6k^2+5k)+3(k^2+5k+4)\end{align*}$

Berdasarkan hipotesis, $k^3+6k^2+5k$ merupakan kelipatan 3 beserta $3(k^2+5k+4)$ jelas merupakan kelipatan 3, maka bisa disimpulkan bahwa $P(n)$ habis dibagi 3 untuk $n\in N$

demam
demam

Pembuktian Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

---

 Contoh 10:
Buktikan bahwa
$$n^2 \geq 2n+7$$
untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$

 Pembahasan:

Kita gunakan induksi matematika umum, dengan:
$P(n)\equiv n^2 \geq 2n+7$
Kita mau membuktikan bahwa $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n$ dengan $ n\geq 4$.

Langkah 1 (Langkah dasar):
kita mau membuktikan kebenaran $P(4)$
$P(4)\equiv 4^2\geq 2(4)+7\Leftrightarrow 16\geq 15$ (Benar)

Langkah 2 (Langkah Induksi):
kita misalkan $P(k)$ benar untuk $k \geq 4$
$P(k)\equiv k^2 \geq 2k+7$ untuk $ k \geq 4$ (hipotesis)

dari hipotesis kita peroleh:
$k^2 \geq 2k+7$             jika kedua ruas kita tambah $2k+1$, maka:
$k^2+2k+1 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(k+3)$ karena $k \geq 4$ maka $k+3 \geq 7$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(7)$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$

Dengan menggunakan hal di atas, kita mau membuktikan $P(k+1)$, yaitu:
$$P(k+1) \equiv (k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$$
karena $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$ kepada hipotesis kita misalkan benar, maka $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$ benar (karena 14 > 7)
Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli  $n\geq 4$

---

Demikianlah beberapa soal beserta pembahasan terkait materi induksi matermatika yg dipelajari di kelas XI Matematika wajib. Semoga bermanfaat

Jika menginginkan file pdf untuk tulisan ini, silakan download melalui link berikut:

Download format pdf artikel ini 

• DOWNLOD TULISAN INI

Integral Tak Tentu - Matematika Wajib Kelas Xi

bahang

Pada kurikulum 2013 revisi, materi integral dipelajari di kelas XI dengan matematika wajib.

Dalam kalkulus, ada dua konsep dasar integral yg dipelajari, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) lagi integral tentu (definite integral).

Konsep integral tak tentu merupakan kebalikan maupun invers dari turunan maupun diferensial, oleh karena itu integral disebut juga sebagai anti turunan. Dengan kata lain, integral tak tentu maupun anti diferensial merupakan cara untuk menemukan fungsi asal dari suatu fungsi yg sudah diturunkan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan mengenai integral berikut ini  dilengkapi dengan contoh soal lagi pembahasan.

Integral Tak Tentu

---

Seperti yg sudah disebutkan di atas, integral merupakan kebalikan dari turunan. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:

Misal ada soal seperti ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$  berdasarkan konsep turunan yg pernah kita pelajari maka kita bisa menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ adalah $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.

Tapi bagaimana sekiranya pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ sekiranya diketahui turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan maupun integral.

Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta lagi $C\in$ bilangan real.

  Rumus Dasar Integral

Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini angsal dengan bahang limpah kita buktikan dengan menurunkan fungsi dengan ruas kanan sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$

  Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real

Perhatikan beberapa contoh soal lagi pembahasan berikut ini:

  Rumus Penjumlahan lagi Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$

Contoh 1

$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....

  Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh

$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$

  Contoh 2

$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....

  Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ angsal dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:

$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$

  Contoh 3

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....

 Jawab:

$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ angsal dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:

$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$

Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf 

  Contoh 4

$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$

  Contoh 5

$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$

  Contoh 6

$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$

  Contoh 7

$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....

  Jawab:

$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$

Demikianlah contoh soal lagi pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini

• DOWNLOAD ARTIKEL INI

Konsep Dasar Turunan Fungsi Aljabar - Matematika Wajib Kelas Xi

kolor

Pada kurikulum 2013 revisi, materi mengenai turunan ataupun diferensial dipelajari di kelas XI bersama kelas XII. Di kelas XI, materi turunan di berikan dengan matematika wajib namun sebatas turunan fungsi aljabar, sementara untuk turunan fungsi trigonometri diberikan di kelas XII dengan matematika peminatan. 

Pada tulisan ini, saya hanya memaparkan turunan fungsi aljabar yg dipelajari di kelas XI matematika wajib. Silakan anda pelajari dengan baik karena materi turunan ini bakal sangat membantu kita seperti untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar dengan dalil L'Hopital, menentukan puncak suatu fungsi kuadrat tanpa rumus, menentukan gradien.

Berikut ini konsep dasar matematika mengenai materi turunan

Definisi Turunan

---

Misalkan $y$ adalah fungsi dari $x$ ataupun $y=f(x)$. Turunan dari $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $f'(x)$ ataupun $y'$ ataupun $\displaystyle\frac{dy}{dx}$, didefinisikan sebagai berikut:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Contoh 1

Jika diberika $y=6x+1$, maka tentukanlah turunan $y$ terhadap $x$

Jawab:

$\begin{align*}y'&=\lim_{h\to 0}\frac{6(x+h)+1-(6x+1)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6x+6h+1-6x-1}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{6h}{h}\\&=\lim_{h\to 0} 6\\&=6\end{align*}$

Rumus Turunan & Contoh

---

Menyelesaikan turunan suatu fungsi khususnya fungsi aljabar dengan menggunakan definisi bakal menghabiskan waktu yg cukup lama bersama rumit. Berikutnya, kita bakal menentukan turunan ataupun diferensial suatu fungsi dengan menggunakan beberapa rumus yg tentunya rumus tersebut diperoleh dengan menjabarkan definisi turunan secara umum. Berikut ini beberapa rumus yg peru diingat bersama perlu dipahami:

1) Jika $y=c$ dengan $c$ konstanta real, maka $y'=0$

2) Jika $y=ax^n$ dengan $a$ bersama $n$ anggota bilangan real, maka $y'=an x^{n-1}$

3) Jika $y=u\pm v$ dengan $u$ bersama $v$ merupakan fungsi, maka $y'=u'\pm v'$

4) Jika $y=u.v$  dengan $u$ bersama $v$ suatu fungsi, maka $y'=u'v+uv'$

5) Jika $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ dengan $u$ bersama $v$ suatu fungsi, maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=7$

Jawab:

Berdasarkan rumus pertama di atas, turunan pertama dari suatu konstanta adalah $0$, maka:

$y=7\Rightarrow y'=0$

---

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y=6x^3$

Jawab:

Dengan menggunakan rumus kedua, maka kita peroleh:

$\begin{align*}y'&=3.6x^{3-1}\\&=18x^2\end{align*}$

---

 Contoh 4

Tentukan turunan pertama dari $y=2x^4+5x^2-7x+3$

Jawab:

$\begin{align*}y&=2x^4+5x^2-7x+3\\y'&=4.2x^{4-1}+2.5x^{2-1}-1.7x^{1-1}+0\\&=8x^3+10x-7\end{align*}$

---

 Contoh 5

Tentukan turunan pertama $y=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3$

Jawab

Sebelum kita turunkan, terlebih kolor tempo hari kita ubah dulu bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen

$\begin{align*}y&=6\sqrt{x}+\frac{5}{x^2}+3\\&=6x^{\frac{1}{2}}+5x^{-2}+3\\y'&=\frac{1}{2}.6x^{\frac{1}{2}-1}+(-2)(5)x^{-2-1}+0\\&=3x^{-\frac{1}{2}}-10x^{-3}\\&=\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{10}{x^3}\\&=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{10}{x^3}\end{align*}$

---

 Contoh 6

Tentukan turunan pertama dari $y=x^3(x^2+6)$

Jawab:

Cara menentukan turunan/diferensial yg memuat perkalian dua buah fungsi kita gunakan rumus ke $4$ yaitu $\displaystyle y=u.v\Rightarrow y'=u'v+uv'$

untuk fungsi $y=x^3(x^2+6)$ kita misalkan $u=x^3$ bersama $v=x^2+6$ maka $u'=3x^2$ bersama $v'=2x$, dengan demikian maka:

$\begin{align*}y'&=(3x^2)(x^2+6)+(x^3)(2x)\\&=3x^4+18x^2+2x^4\\&=5x^4+18x^2\end{align*}$

---

 Contoh 7

Tentukan turunan pertama dari $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$

Jawab:

Cara menentukan turunan suatu fungsi yg memuat pembagian dua buah fungsi seperti soal di atas, kita gunakan rumus ke $5$ yaitu $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ maka $\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

Untuk fungsi $\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$ kita buat pemisalan 

$u=x\Rightarrow u'=1$
$v=x^2+1\Rightarrow v'=2x$

$\begin{align*}y'&=\frac{(1)(x^2+1)-(x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\&=\frac{x^2+1-2x^2}{x^4+2x^2+1}\\&=\frac{-x^2+1}{x^4+2x^2+1}\end{align*}$

Lihat juga: Download Soal Limit Fungsi Aljabar

Aturan Rantai & Contoh

---

Misalnya $y=f\left(g(x)\right)$ ataupun $y=\left(f\circ g\right)(x)$ dengan $f$ bersama $g$ merupakan fungsi-fungsi dalam variabel $x$ yg memiliki turunan. Turunan $y$ adalah

$y'=f'(g(x))\times g'(x)$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh 8

Tentukan turunan pertama dari $y=(x^2+3x-5)^{10}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=(x^2+3x-5)^{10}\\y'&=10(x^2+3x-5)^{10-1}\times(2x+3)\\&=10(x^2+3x-5)^9\times(2x+3)\\&=(20x+30)(x^2+3x-5)^9\end{align*}$

---

Contoh 9

Tentukan turunan pertama dari $y=\sqrt{x^3+2x}$

Jawab:

$\begin{align*}y&=\sqrt{x^3+2x}\\y&=(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}\\y'&=\frac{1}{2}(x^3+2x)^{-\frac{1}{2}}(3x^2+2)\\&=\frac{3x^2+2}{2(x^3+2x)^{\frac{1}{2}}}\\&=\frac{3x^2+2}{2\sqrt{x^3+2x}}\end{align*}$

Demikianlah konsep matematika tentang turunan ataupun diferensial, untuk latihan silakan download soal turunan fungsi aljabar disini . Namun, bila anda masih belum paham sebaiknya lihat video pembahasan turunan fungsi aljabar berikut . Untuk soal online, silakan kunjungi laman ini