bahang
Pada kurikulum 2013 revisi, materi integral dipelajari di kelas XI dengan matematika wajib.
Dalam kalkulus, ada dua konsep dasar integral yg dipelajari, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) lagi integral tentu (definite integral).
Konsep integral tak tentu merupakan kebalikan maupun invers dari turunan maupun diferensial, oleh karena itu integral disebut juga sebagai anti turunan. Dengan kata lain, integral tak tentu maupun anti diferensial merupakan cara untuk menemukan fungsi asal dari suatu fungsi yg sudah diturunkan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan mengenai integral berikut ini dilengkapi dengan contoh soal lagi pembahasan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan mengenai integral berikut ini dilengkapi dengan contoh soal lagi pembahasan.
Integral Tak Tentu
Seperti yg sudah disebutkan di atas, integral merupakan kebalikan dari turunan. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:
Misal ada soal seperti ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ berdasarkan konsep turunan yg pernah kita pelajari maka kita bisa menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ adalah $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.
Tapi bagaimana sekiranya pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ sekiranya diketahui turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan maupun integral.
Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta lagi $C\in$ bilangan real.
Rumus Dasar Integral
Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini angsal dengan bahang limpah kita buktikan dengan menurunkan fungsi dengan ruas kanan sebagai berikut:
$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$
Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real
Perhatikan beberapa contoh soal lagi pembahasan berikut ini:
Rumus Penjumlahan lagi Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$
Contoh 1
$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....
Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh
$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$
Misal ada soal seperti ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ berdasarkan konsep turunan yg pernah kita pelajari maka kita bisa menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ adalah $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.
Tapi bagaimana sekiranya pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ sekiranya diketahui turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan maupun integral.
Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta lagi $C\in$ bilangan real.
Rumus Dasar Integral
Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini angsal dengan bahang limpah kita buktikan dengan menurunkan fungsi dengan ruas kanan sebagai berikut:
$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$
Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real
Perhatikan beberapa contoh soal lagi pembahasan berikut ini:
Rumus Penjumlahan lagi Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$
Contoh 1
$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....
Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh
$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$
Contoh 2
$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ angsal dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:
$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$
Contoh 3
$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....
Jawab:
$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ angsal dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:
$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$
Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf
Contoh 4
$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$
Contoh 5
$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$
Contoh 6
$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$
Contoh 7
$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$
Demikianlah contoh soal lagi pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini
$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ angsal dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:
$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$
Contoh 3
$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....
Jawab:
$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ angsal dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:
$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$
Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf
Contoh 4
$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$
Contoh 5
$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$
Contoh 6
$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$
Contoh 7
$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$
Demikianlah contoh soal lagi pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini
Tidak ada komentar:
Posting Komentar