Limit Fungsi Trigonometri - Matematika Peminatan Kelas Xii

berbahaya

Pada Kesempatan ini m4th-lab mau membahas materi limit fungsi trigonometri, meliputi konsep, contoh soal lalu pembahasan. Pada kurikulum 2013 revisi 2020, materi ini dipelajari di kelas XII matematika peminatan semester ganjil.

Pada matematika wajib kelas XI, adik-adik sudah pernah mempelajari Limit Fungsi Aljabar, termasuk definisi limit itu sendiri. Suatu fungsi $f(x)$ memiliki limit untuk $x$ mendekati $(x\to a)$ sekiranya nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri lalu nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kanan mendekati nilai yg sama, misalnya $L$. Dapat ditulis:

$$\lim_{x\to a}{f(x)}=L$$

Definisi limit fungsi trigonometri tidak jauh berbeda dengan limit fungsi aljabar di atas. Misal $f(x)$ merupakan fungsi trigonometri. Limit fungsi $f(x)$ mendekati sudut tertentu $a$ adalah nilai fungsi $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri lalu dari kanan. 

Lihat juga : Menyelesaiakan limit trigonometri dengan deret Maclaurin

Banyak cara yg beroleh kita lakukan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Pertama, sekiranya bentuk limit terdefinisi dengan mensubstitusi secara langsung (tidak diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$), maka limit tersebut beroleh diselesaikan cukup dengan mensubstitusi. Namun, sekiranya kita substitusi lalu ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka diperlukan langkah tertentu untuk menyelesaikan limit tersebut yg mau dibahas dengan tulisan ini.

Sebelum kita lanjut membahas limit fungsi trigonometri, sebaiknya kalian ingat kembali teorema limit yg meliputi Sifat-sifat Limit sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to a} {c}=c $, dengan $c$ adalah konstanta
2. $\displaystyle\lim_{x\to a}{x^{n}}=a^n$
3. $\displaystyle\lim_{x\to a}{c.f(x)}=c.\lim_{x\to a}{f(x)}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x)\pm g(x)\right]}=\lim_{x\to a}{f(x)}\pm \lim_{x\to a}{g(x)}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x). g(x)\right]}=\lim_{x\to a}{f(x)}. \lim_{x\to a}{g(x)}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}$, dengan syarat $\lim_{x\to a}{g(x)}\ne 0$
7. $\displaystyle\lim_{x\to a}{\left[f(x)\right]^n}=\left[\lim_{x\to a}{f(x)}\right]^n$

Berikut ini mau kita pelajari berbagai cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri

1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi

Menentukan nilai limit dengan substitusi secara langsung hanya sah sekiranya hasil yg diperoleh terdefinisi (bukan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$).

Contoh 1.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to \pi}{\cos(x+\sin x)}$

Pembahasan:

Limit tersebut beroleh diselesaikan dengan mensubstitusi langsung

$\begin{align*}\lim_{x\to \pi}{\cos(x+\sin x)}&=\cos(\pi +\sin{\pi})\\&=\cos(\pi+0)\\&=\cos{\pi}\\&=-1\end{align*}$

Contoh 1.2:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}$

Pembahasan:

Limit tersebut beroleh diselesaikan dengan mensubstitusi langsung

$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}&=\frac{\cos{0}}{\sin{0}+\cos{0}}\\&=\frac{1}{0+1}\\&=\frac{1}{1}\\&=1\end{align*}$

Contoh 1.3:
Tentukan limit fungsi berikut:
$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{1-\sin^2{x}}{\cos{x}-\sin{x}}}$

Pembahasan:
Limit tersebut beroleh diselesaikan dengan mensubstitusi langsung
$\begin{align*}\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{1-\sin^2{x}}{\cos{x}-\sin{x}}}&=\frac{1-\sin^2{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}-\sin{\frac{\pi}{4}}}\\&=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2}{\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\&=\frac{1-\frac{1}{2}}{0}\\&=\frac{\frac{1}{2}}{0}\\&=\infty\end{align*}$

berbahaya
berbahaya

2. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Penyederhanaan

Jika setelah kita coba mensubstitusi lalu ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, maka salah satu cara yg bisa kita gunakan adalah dengan penyederhanaan. Namun, sebelumnya saiknya kalian mengetahui beberapa rumus trigonometri yg sering digunakan untuk menyelesaikan limit trigonometri sebagai berikut:

Rumus jumlah lalu selisih sinus lalu cosinus

1. $\displaystyle\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{1}{2}(A+B)}\cos{\frac{1}{2}(A-B)}$
2. $\displaystyle\sin{A}-\sin{B}=2\cos{\frac{1}{2}(A+B)}\sin{\frac{1}{2}(A-B)}$
3. $\displaystyle\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{1}{2}(A+B)\cos{\frac{1}{2}(A-B)}}$
4. $\displaystyle\cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\frac{1}{2}(A+B)\sin{\frac{1}{2}(A-B)}}$

Rumus Sudut Rangkap

1. $\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}$
2. $\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}$
3. $\cos{2A}=(\cos{A}+\sin{A})(\cos{A}-\sin{A})$
4. $\cos{2A}=1-2\sin^2{A}$
5. $\cos{2A}=2\cos^2{A}-1$

Perhatikan beberapa contoh lalu pembahasan limit trigonometri berikut dengan cara menyederhanakan bentuk trigonometri

Contoh 2.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}}=$ ....

Pembahsan:

Jika kita substitusi $x=\frac{\pi}{4}$ mau kita peroleh bentuk $\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu), maka penyelesaian limit ini tidak cukup hanya dengan mensubstitusi.

Kita mau mengganti $\cos{2x}$ dengan $(\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})$ (perhatikan rumus sudut rangkap no 3 di atas), sehingga kita peroleh:

$\begin{align*}\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}}&=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\frac{(\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})}{\cos{x}-\sin{x}}}\\&=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}{\cos{x}+\sin{x}}\\&=\cos{\frac{\pi}{4}}+\sin{\frac{\pi}{4}}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}\end{align*}$ 

berbahaya
berbahaya

Contoh 2.2:

Selesaikan limit berikut dengan menyederhanakan:
$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{1-\cos{2x}}}=$ ....

Penyelesaian:
$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{1-\cos{2x}}}&=\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin{2x}\sin{x}}{1-(1-2\sin^2{x})}}\\&=\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin{2x}\sin{x}}{2\sin^2{2x}}}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$

3. Menentukan Limit dengan Rumus Limit Trigonometri

Seringkali kita mau menemukan soal limit fungsi trigonometri yg tidak cukup hanya dengan menyederhanakan, namun kita perlu menggunakan beberapa rumus dasar limit trigonometri sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{ax}}{ax}}=1$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sin{x}}}=1$
4. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{ax}{\sin{ax}}}=1$
5. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{x}}{x}}=1$
6. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{ax}}{ax}}=1$
7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\tan{x}}}=1$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{ax}{\tan{x}}}=1$

 Contoh 3.1

$\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{3x}-\cos{5x}}{x^2}}=$

Pembahasan:

$\begin{align*}\lim_{x\to 0}{\frac{\cos{3x}-\cos{5x}}{x^2}}&=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin{4x}\sin{x}}{x.x}\\&=\frac{2.4.1}{1.1}\\&=8\end{align*}$

Sebagai bahan latihan, silakan download soal limit fungsi trigonometri disini

Untuk lebih memahami limit fungsi trigonmetri, silakan pelajari video berikut

---