Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Hingga Lagi Tak Tentu [Masalah Pembagian Dengan 0]

bergolak

Dalam matematika banyak sekali istilah yg perlu kita pahami. Salah satu masalah yg muncul, ketika kita menemukan kasus pembagian suatu bilangan dengan nol, seperti beberapa pertanyaan berikut yg mungkin anda sendiri pernah mempertanyakannya, "Apakah  hasil dari $\frac{1}{0}$ adalah tak terdefinisi alias tak hingga?",  "Bagaimana dengan $\frac{0}{0}$?", "Berapa nilai dari $tan{\frac{\pi}{2}}$ ?", "Apakah $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\infty$?" dan banyak pertanyaan lain terkait pembagian nol.

Baiklah, mari kita bahas beberapa istilah berikut yaitu Tak terdefinisi, tak hingga, lagi tak tentu

Tak Terdefinisi (Undefined)

---

Sesuai namanya "tak terdefinisi" adalah sesuatu yg tidak bisa kita definisikan. Dalam matematika, banyak hal yg tidak terdefinisi (undefined) beberapa contoh diantaranya misalnya dalam geometri, kita sering mendengar dengan istilah "titik", namun tidak ada definisi yg menjelaskan apa itu titik. Contoh lain di luar geometri misalnya suatu fungsi $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ tidak terdefinisi untuk $x$ negatif dengan $x$ anggota bilangan real lagi $f(x)\in$ Real.

Dalam aritmetika, ketika kita membagi suatu bilangan dengan nol, maka hasilnya adalah tidak terdefinisi (bukanlah tak hingga). Perhatikan ilustrasi berikut:

Kita tahu bahwa pembagian adalah invers (balikan) dari perkalian, misal $\displaystyle\frac{a}{b}=c$ maka becus kita nyatakan $\displaystyle c\times b=a$.

Contoh, $\displaystyle\frac{18}{3}=6$ becus kita nyatakan $6 \times 3=18$

Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac{18}{0}=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yg memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh sebab itu, berapapun bilangannnya (selain nol) misalnya dibagi dengan 0, maka tidak bisa didefinisikan (tak terdefinisi).

Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero alias klik disini

Tak Hingga (Infinity)

---

Istilah "Tak Hingga" alias "Tak Berhingga" alias "Tak Terhingga" merupakan istilah yg kita gunakan untuk menunjukkan suatu nilai yg amat sangat besar (positif tak hingga) alias suatu nilai yg amat sangat kecil (negatif tak hingga), meskipun demikian "tak hingga" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).

Tak hingga disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.

Dalam kalkulus, tak hingga $(\displaystyle\infty)$ becus kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa aturan sebagai berikut:

1. $\displaystyle a+\infty=\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
2. $\displaystyle a-\infty=-\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
3. $\displaystyle a\times\infty=\infty$ untuk $a>0$ lagi $a\in$ Bilangan Real
4. $\displaystyle a\times(-\infty)=-\infty$ untuk $a>0$ lagi $a\in$ Bilangan Real
5. $\displaystyle a\times \infty=-\infty$ untuk $a\lt 0$ lagi $a\in$ Bilangan Real
6. $\displaystyle a\times (-\infty)=\infty$ untuk $a\lt 0$ lagi $a\in$ Bilangan Real
7. $\displaystyle 0+\infty=\infty$
8. $\displaystyle 0-\infty=-\infty$
9. $\displaystyle\frac{\infty}{a}=\infty$ untuk $a\gt 0$ lagi $a\ne\infty$
10. $\displaystyle\frac{-\infty}{a}=-\infty$ untuk $a\gt 0$ lagi $a\ne \infty$
11. $\displaystyle\frac{a}{\infty}=0$

Sebagai tambahan literatur, silakan baca ini .

Bentuk Tak Tentu (Indeterminate Form)

---

Sama halnya seperti tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu contoh bentuk tak tentu adalah pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac{0}{0}\right)$. Mungkin beberapa orang mengira bahwa nilai dari $\displaystyle\frac{0}{0}$ adalah 1, karena pembilang lagi penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak menghasilkan nilai tunggal, karena itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac{0}{0}=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac{0}{0}$ tidak memiliki solusi tunggal

Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:

1. $\displaystyle\frac{0}{0}$
2. $\displaystyle\infty-\infty$
3. $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$
4. $\displaystyle 0\times \infty$
5. $\displaystyle 0^0$
6. $\displaystyle \infty^0$
7. $\displaystyle 1^\infty$

bergolak
bergolak

Beberapa Masalah Terkait 

---

Berikut ini beberapa masalah yg berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak hingga lagi tak tentu

1. Dalam Trigonometri

Saya pribadi sering bertanya kepada anak didik "Berapa nilai dari $\tan{90^\circ}$?". Banyak diantaranya yg menjawab "Tak hingga" ada juga yg menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yg banar?

Nilai dari $\tan{90^\circ}$ adalah tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tan{x}$ berikut ini:

Dari grafik $y=\tan{x}$ di atas, bisa kita lihat bahwa kurva sama sekali tidak pernah menyentuh $x=\frac{\pi}{2}$, jadi tampak jelas bahwa nilai dari $\tan{90^\circ}$ tak terdefinisi. Bahkan secara umum becus dikatakan sebagai berikut:

bergolak
bergolak

Dalam Trigonometri, $\tan{\theta}$, $\sec{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\times 180^\circ$, lagi $\cot{\theta}$ lagi juga $\csc{\theta}$ tidak terdefinisi untuk $\theta=n\times 180^\circ$

2. Dalam Masalah Limit

Bagaimana misalnya saya bertanya berapakah nilai dari $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$?

Jika jawaban anda adalah $\infty$ alias "tak hingga", maka jawaban anda belum tepat.

Nilai suatu limit fungsi ada alias terdefinisi misalnya limit kiri nilainya sama dengan limit kanan.

Untuk kasus soal di atas, limit kiri fungsi tersebut adalah negatif tak hingga, bisa kita tulis:

$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}=-\infty$$

Sementara limit kanan fungsi tersebut adalah positif tak hingga, bisa kita tulis:
$$\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x-1}}=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}$ adalah tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak memiliki penyelesaian.
$$\lim_{x\to 1^-}{\frac{1}{x-1}}\ne\lim_{x\to 1^+}{\frac{1}{x-1}}\Rightarrow \lim_{x\to 1}{\frac{1}{x-1}}=\text{Tak Terdefinisi}$$

untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ berikut ini:

Bisa kita lihat nilai untuk $x=1$ pendekatan dari kiri lagi kanan tidaklah sama.

Jadi, tidak semua limit bisa kita cari nilainya, kita harus memastikan apakah limit tersebut terdefinisi alias tidak.

Demikianlah masalah terkait istilah tak terdefinisi, tak hingga, lagi tak tentu.

Artikel ini hanya ditulis oleh penulis yg sangat minim ilmu, jadi sebaiknya jangan jadikan tulisan ini sebagai referensi utama, silakan anda cari referensi lain yg lebih terpercaya.

Semoga bermanfaat