Aturan Pencacahan - Menyusun Huruf Dengan Suatu Kata Dengan Syarat Huruf Tertentu Tidak Berdekatan

kolor

Pada tulisan kali ini, saya atas membahas topik khusus yg akhir-akhin ini cukup sering dipertanyakan di grup-grup matematika mengenai banyak cara menyusun huruf-huruf kepada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yg tidak boleh berdekatan. Soal sejenis ini cukup sering kolor menyembu kepada Ujian Pengetahuan (UP) UMKM PPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru) bidang Profesional Pendidikan Matematika. Jadi, bagi anda yg saat ini sedang mempersiapkan diri menghadapai UP PPG anda datang ke blog yg tepat, karena kepada tulisan ini saya atas mencoba membahas dengan cara yg paling sederhana bersama kolor sederhana dipahami. 

Materi Prasyarat

Materi prasyarat untuk angsal mengerjakan soal "banyak cara menyusun huruf-huruf kepada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yg tidak boleh berdekatan" diantaranya, anda perlu memahami konsep permutasi bersama kombinasi termasuk permutasi unsur yg sama. Jadi, kepada tulisan ini saya tidak atas membahas dulu apa itu kombinasi bersama permutasi, bersama aturan permutasi unsur yg sama, namun atas langsung to the point ke permasalahan sesuai judul. 

Soal bersama Pembahasan

Baiklah, kita langsung aja ke soal bersama pembahasan. Soal-soal yg saya bahas berikut ini saya ambil dari soal-soal UP PPG / UTN (Ujian Tulis Nasional) yg pernah diujikan.

---

Soal 1 (UTN 2020)

Banyaknya cara menyusun kata BELERANG dengan syarat 2 huruf vokal tidak boleh berdekatan adalah ....

A. 7.200

B. 2.400

C. 960

D. 720

Pembahasan:

Salah satu alternatif termudah menyusun kata BELERANG dengan tidak ada huruf vokal berdekatan adalah dengan "mensisipkan" huruf-huruf vokal diantara huruf konsonan selain itu vokal juga bisa kita simpan diawal dan/atau diakhir kata. Pada kata BELERANG terdapat 3 huruf vokal yaitu E, E, A dan 5 huruf konsonan yaitu B, L, R, N, G. Posisi penempatan huruf vokal bersama konsonan yg mungkin angsal anda lihat kepada gambar di bawah ini:

5 buah kotak adalah tempat dimana kita atas "menyimpan" huruf konsonan, bersama "ruang kosong" diantara kotak-kotak tersebut adalah tempat kita atas "menyimpan" huruf-huruf vokal. Banyaknya "ruang kosong" sama dengan banyak huruf konsonan ditambah 1. Sampai sini apakah cukup jelas?

Berikutnya, 3 hal yg perlu kita perhitungkan. Yaitu, "Berapa banyak cara kita menempatkan vokal?", "Berapa Banyak cara menyusun huruf vokal?" bersama "Berapa banyak cara menyusun huruf konsonan?". Jika anda sudah angsal menjawab 3 pertanyaan di atas, maka dengan menggunakan aturan perkalian kita angsal memperoleh jawaban soal diatas. Baik, mari kita coba kolor sahutan soal tersebut:

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf vokal kepada 6 tempat (ruang kosong) yg tersedia adalah: $\displaystyle C_{3}^6$ cara. Logikanya sama dengan "mengambil 3 tempat dari 6 tempat yg tersedia"

2) Banyak cara menusun huruf-huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle \frac{3!}{2!}$ (permutasi unsur  yg sama)

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan B, L, R, N, G adalah: $5!$

Jadi, banyak cara menyusun kata BELERANG tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.5!&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.5!\\&=60. 5!\\&=7200\end{align*}$

Jadi, terdapat sebanyak 7.200 cara

Untuk lebih jelas video pembahasan masalah banyak cara menyusun huruf-huruf kepada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan angsal anda lihat di channel youtube m4thlab, ataupun klik di sini

---

Soal 2 (UTN 2020)

Cara menyusun huruf TERCEPAT sehingga tidak ada dua huruf vokal berdekatan ada sebanyak ....

A. 7.200

B. 3.600

C. 1.800

D. 1.200

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, E, A

Banyak huruf vokal: 3

Huruf-huruf konsonan:  T, R, C, P, T

Banyak huruf konsonan: 5

Banyak ruang kosong untuk kita menyimpan vokal adalah banyak konsonan ditambah 1 yaitu $5+1=6$ tempat

1) banyak cara menempatkan vokal: $\displaystyle C_{3}^{6}$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf vokal E, E, A adalah: $\displaystyle\frac{3!}{2!}$ (terdapat dua huruf yg sama)

3) Banyak cara menyusun huruf konsonan T, R, C, P, T adalah; $\displaystyle \frac{5!}{2!}$ (terdapat dua huruf yg sama)

Banyak cara menyusun huruf-huruf kepada kata TERCEPAT tanpa ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_{3}^{6}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6.5.4.3!}{3!.3!}.\frac{3!}{2!}.\frac{5!}{2!}\\&=30.5!\\&=3.600\end{align*}$

---

Soal 3

Cara menyusun huruf-huruf JAKARTA dengan tanpa ada dua huruf A yang berdekatan ada sebanyak ....

A. 120

B. 150

C. 180

D. 240

E. 270

Pembahasan:

Banyak huruf A ada 3

Banyak huruf selain A  yaitu J, K, R, T  ada 4

Banyak "ruang kosong" untuk menyimpan A ada  $4+1=5$ tempat

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf A kepada 5 tempat tersedia adalah $C_{3}^{5}$ cara

2) Banyak cara menyusun 3 huruf A adalah $\displaystyle\frac{3!}{3!}=1$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf selain A yaitu huruf J, K, R, T adalah $4!$ cara

Banyak cara menyusun huruf JAKARTA tanpa ada dua huruf A berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_3^5.1.4!&=\frac{5.4.3!}{3!.2!}.1.4!\\&=10.4!\\&=240\end{align*}$

Jadi, terdapat 240 cara

---

Soal 4 (UP 2020 tahap 2)

Cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN dengan tanpa ada dua huruf vokal yg berdekatan ada sebanyak ....

A. $6(7!)$

B. $35(6!)$

C. $28(7!)$

D. $28(5!)$

E. $42(6!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, A, A, A

Banyak huruf vokal: 4

Huruf konsonan: P, N, C, C, H, N

Banyak huruf konsonan: 6

Banyak "ruang kosong" tenpat menyimpan huruf vokal adalah $6+1=7$ tempat

1) Banyak cara menempatkan vokal adalah $\displaystyle C_4^7$ cara

2) Banyak cara menyusun huruf-huruf vokal E, A, A, A adalah $\displaystyle \frac{4!}{3!}$ cara

3) Banyak cara menyusun huruf-huruf konsonan P, N, C, C, H, N  adalah $\displaystyle\frac{6!}{2!.2!}$ cara

Banyak cara menyusun huruf-huruf PENCACAHAN  tanpa ada dua vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_4^7.\frac{4!}{3!}.\frac{6!}{2!.2!}&=\frac{7.6.5.4!}{4!.3!}.4.\frac{6!}{4}\\&=35(6!)\end{align*}$

Jadi, terdapat $35(6!)$ cara

---

Soal 5 (UP 2020)

Cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan dua huruf vokal tidak berdekatan ada sebanyak ....

A. $36(7!)$

B. $35(6!)$

C. $18(6!)$

D. $28(5!)$

E. $30(7!)$

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: A, A, I, I, E

Banyak huruf vokal: 5

Huruf-huruf konsonan: R, T, T, M, K

Banyak huruf konsonan: 5

Tempat (ruang kosong) untuk menyimpan huruf vokal: $5+1=6$ tempat

Banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah:

$\begin{align*}C_5^6.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}&=\frac{6!}{5!.1!}.\frac{5!}{2!.2!}.\frac{5!}{2!}\\&=15(6!)\end{align*}$

Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf ARITMETIKA dengan tidak ada dua huruf vokal berdekatan adalah $15(6!)$ (Tidak ada kepada opsi jawaban)

Soal Latihan:

Jika anda sudah paham dengan beberapa contoh di atas, silakan anda coba soal berikut sebagai soal latihan, jawaban boleh anda tulis kepada kolom komentar

Berapkah banyak cara menyusun huruf-huruf kepada kata MATHEMATICS dengan tanpa ada 2 huruf vokal berdekatan?

Demikianlah penjelasan mengenai cara menentukan banyak cara menyusun huruf kepada suatu kata dengan syarat huruf tertentu tidak berdekatan.