Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional Ataupun Pertidaksamaan Pecahan (Matematika Wajib Kelas X)

berbahaya

Pertidaksamaan rasional adalah  pertidaksamaan yg berbentuk pecahan dengan pembilang bersama penyebut memuat variabel maupun hanya penyebutnya saja yg memuat variabel. Berikut ini beberapa contoh pertidaksamaan rasional.

$\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\geq 0$

$\displaystyle\frac{x^2-1}{x+7}\leq 5$

$\displaystyle\frac{5}{2x-1}\gt \frac{x+1}{x-5}$

Di atas, ada 3 contoh pertidaksamaan rasional maupun pertidaksamaan pecahan dengan bentuk yg berbeda. Namun, bagaimanapun bentuknya, pertidaksamaan rasional selalu bisa diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\lt 0$ maupun $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\gt 0$ maupun $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$

Dengan $f(x)$ sebagai fungsi pembilang bersama $g(x)$ sebagai fungsi penyebut bersama $g(x)\ne 0$.

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional?

---

Berikut ini beberapa langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional maupun pertidaksamaan pecahan:

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:

Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
 Jika fungsi pembilang maupun fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
 Cari titik kritis maupun pembuat nol fungsi pembilang bersama fungsi penyebut
 Gambar dengan garis bilangan
 Lakukan pengujian daerah yg dibatasi titik kritis dengan garis bilangan
 Tentukan himpunan penyelesaian

Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh bernilai nol, dengan demikian saat menggambar garis bilangan, titik kritis yg diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan dengan soal memuat tanda sama dengan ($\leq$ maupun $\geq$).

Contoh Soal bersama Penyelesaian

---

Untuk lebih memahami cara menyelesaiakan pertidaksamaan rasional, perhatikan contoh soal bersama pembahasan berikut ini.

Soal pertama yg bakal kita selesaiakan adalah pertidaksamaan rasional berikut:

$\displaystyle\frac{5x-20}{x-5}\leq 3$

Langkah pertama, kita perlu menjadikan ruas kanan dengan pertidaksamaan menjadi nol, yaitu dengan dengan mengurangi kedua ruas dengan $3$, kemudian sederhanakan bentuk dengan ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya

$\begin{align*}\frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 3-3\\ \frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 0 \\ \frac{5x-20}{x-5}-\frac{3(x-5)}{x-5}&\leq 0\\ \frac{5x-20-3x+15}{x-5}&\leq 0\\ \frac{2x-5}{x-5}&\leq 0\end{align*}$

Langkah kedua, kita tentukan titik kritis, yaitu pembuat nol dengan pembilang bersama penyebut.

Pembuat nol dengan pembilang adalah $\displaystyle 2x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$

Pembuat nol dengan penyebut adalah $\displaystyle x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Langkah ketiga, kita buat garis bilangan yg memuat beberapa daerah yg dibatasi oleh titik kritis yg kita peroleh dari langkah kedua, bersama perlu diingat dengan titik kritis yg diperoleh dari penyebut digambarkan dengan tanda bulatan kosong meskipun pertidaksamaan yg sedang kita selesaikan $\leq$.

Langkah keempat, tentukan tanda masing-masing daerah dengan garis bilangan dengan melakukan pengujian.

Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah, yaitu $x\leq\frac{5}{2}$ kita sebut saja "daerah kiri",  daerah $\frac{5}{2}\leq x \lt 5$ kita sebut sebagai "daerah tengah" bersama daerah $x\gt 5$ kita sebut sebagai "daerah kanan".

Pada masing-masing daerah tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk daerah kiri $(x\leq \frac{5}{2})$ saya ambil $x=0$, untuk daerah tengah $(\frac{5}{2}\leq x\lt 5)$ saya ambil $x=3$, bersama untuk daerah kanan $(x\gt 5)$ saya ambil $x=6$ sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional $\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}$ maka kita peroleh:

berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya

Titik Uji	$2x-5$	$x-5$	$\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}$
$x=0$	$(-)$	$(-)$	$\frac{(-)}{(-)}=(+)$
$x=3$	$(+)$	$(-)$	$\frac{(+)}{(-)}=(-)$
$x=6$	$(+)$	$(+)$	$\frac{(+)}{(+)}=(+)$

Baca juga : Cara berbahaya limpah menentukan tanda $+$ bersama $-$ garis bilangan tanpa titik uji

kita peroleh

Langkah kelima, kita tentukan himpunan penyelesaian dengan kembali memperhatikan tanda pertidaksamaan bersama tanda dengan garis bilangan.

Pertidaksamaan $\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}\leq 0$ memiliki tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah yg bertanda negatif maupun atau nol $(\leq 0)$, yaitu daerah tengah dengan garis bilangan tadi.

maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle \frac{5x-20}{x-5}\leq 3$ adalah $\left\{x | \frac{5}{2}\leq x \lt 5, x\in R\right\}$

Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang bersama Penyebut

---

Berikutnya, kita bakal mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$$

Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:

$\begin{align*}\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 1-1\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-\frac{x^2-3x-10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3x-10}&\lt 0\end{align*}$

Berikutnya, kita faktorkan pembilang bersama penyebut sehingga kita peroleh

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)}{(x+2)(x-5)}\lt 0$

Seperti yg kita lihat, terdapat faktor persekutuan pada pembilang bersama penyebut, yaitu $(x-5)$, dengan pertidaksamaan rasional faktor persekutuan tidak boleh kita sederhanakan maupun bahkan kita hilangkan, hal yg umum dilakukan jikalau terdapat faktor persekutuan misalnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yg sudah jelas positif bersama tidak merubah tanda pertidaksamaan. Jadi, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)^2}{x+2}\lt 0$

titik kritis (pembuat nol) dari pembilang bersama penyebut yg kita peroleh adalah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ bersama $x=-2$, maka bisa kita buat garis bilangan sebagai berikut:

Dengan melakukan pengujian masing-masing daerah, kita peroleh tanda sebagai berikut:

tanda yg diminta dengan pertidaksamaan terakhir adalah $\lt 0$ maupun negatif, dipenuhi oleh daerah yg diarsir berikut:

maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$ adalah $\{x| x\lt -2\text{ maupun }-1\lt x \lt 0, x\in R\}$


Masalah Pertidaksamaan Rasional yg Memuat Fungsi Definit

---

Secara bahasa, definit artinya pasti. Dalam matematika terutama yg berkaitan dengan fungsi kuadrat dikenal dua definit yaitu definit positif dan definit negatif. Definit positif artinya fungsi tersebut selalu menghasilkan nilai positif untuk setiap $x$ anggota bilangan real, bersama definit negatif artinya fungsi selalu menghasilkan nilai negatif untuk setiap $x$ anggota bilangan real.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit positif jikalau $a\gt 0$ bersama $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu positif.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit negatif jikalau $a\lt 0$ bersama $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu negatif.

Perhatikan contoh pertidaksamaan rasional berikut:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ adalah ....

Penyelesaian:

$\begin{align*}\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}-1&\lt 0 \\ \frac{(2x^2+2x-4)-(x^2+4)}{(x^2+4)}&\lt 0\\ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4}&\lt 0\end{align*}$

Karena $x^2+4$ merupakan definit positif, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.

$\begin{align*}x^2+2x-8&\lt 0\\(x+4)(x-2)&\lt 0\end{align*}$

Titik kritisnya adalah $x=-4$ bersama $x=2$, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ adalah $\{x | -4\lt x\lt 2\}$

Jika anda sudah paham, silakan coba soal online pertidaksamaan rasional berikut sebagai bahan latihan. Semoga bermanfaat, demikianlah materi pertidaksamaan rasional kelas X matematika wajib.