kolor
Pernahkah anda mendengar kata Modulo alias Modulus? Bagi yg sudah terbiasa menghadapi soal-soal OSN pastinya tidak asing dengan modulo. Pada kesempatan ini saya mau sedikit membahas konsep modulo sebagai referensi tambahan bagi adik-adik yg sedang mempersiapkan diri menghadapi OSN matematika alias kompetisi matematika lainnya. Selain itu, berdasarkan informasi yg kami terima materi modulo juga merupakan materi yg diujikan kepada Ujian Pengetahuan (UP) UKMPPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru).
Apa itu Modulo?
Modulo biasa digunakan untuk mencari sisa dari pembagian (reminder) bilangan. Misalnya, "Berapakah sisa semisal 123 dibagi 12?". Tentunya kita mengetahui bahawa $123=10\times 12+3$, yg artinya semisal 123 dibagi 12 maka mau bersisa 3. Dengan menggunkan modulo bisa kita tulis $123\space\text{mod}\space 12=3$ atau $\text{mod}\space (123,12)=3$
Penulisan Modulo
Pada tulisan ini kami mau menggunakan tanda "$=$" agar lebih kolor lekeh dipahami, namun perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai berikut:
$$a\equiv b\mod{m}$$
yang artinya $m$ membagi habis $(a-b)$ alias dengan kata lain "Jika $a$ dibagi $m$ maka mau bersisa $b$"
Contoh:
$30\equiv 2\mod{4}$
Artinya $4$ membagi habis $(30-2)$, alias "Jika 30 dibagi 4 maka mau berbsisa 2". Jika menggunkan tanda "$=$" bisa kita tulis $30\space\text{mod}\space 4=2$
Aturan/Kaidah Dasar Modulo
Berikut ini beberapa kaidah dasar yg perlu anda pahami untuk bisa menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo
Kaidah Dasar 1
$$a\space\text{mod}\space n=(bn+c)\space \text{mod}\space n=c\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa $7$ digabi $9$?
Jawab:
$7\space\text{mod}\space 9=7$
Jadi, 7 dibagi 9 mau bersisa 7
2) Berapakah sisa $35$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}35\space\text{mod}\space 8&=(4.8+3)\space\text{mod}\space 8\\&=3\space \text{mod}\space 8\\&=3\end{align*}$
Jadi, $35$ dibagi $8$ mau bersisa $3$.
3) Berapakah sisa $120$ dibagi $13$?
Jawab:
$\begin{align*}120\space\text{mod}\space 13&=(10.13-10)\space\text{mod}\space 13\\&=(-10)\space\text{mod}\space 13\\&=((-1).13+3)\space\text{mod}\space 13\\&=3\space\text{mod}\space 13\\&=3\end{align*}$
Jadi, $120$ dibagi $13$ bersisa $3$
Semoga kaidah dasar 1 ini bisa anda pahami, karena mau kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
$$(a+b)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)+(b\space\text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(10+17+21)$ oleh $9$?
Jawab:
$\begin{align*}(10+17+21)\space\text{mod}\space 9&=(10\space\text{mod}\space 9+17\space\text{mod}\space 9+21\space\text{mod}\space 9)\space \text{mod}\space 9\\&=(1+8+3)\space\text{mod}\space 9\\&=12\space\text{mod}\space 9\\&=3\space\text{mod}\space 9\\&=3\end{align*}$
Jadi $(10+17+21)$ semisal dibagi $9$ maka mau bersisa $3$
2) Berapakah sisa $(2011+2012+2013+\cdots+2020)$ dibagi $2020$?
Jawab:
$(2011+2012+2013+\cdots+2020)\space\text{mod}\space 2020\\=(-8-7-6-\cdots-1)\space\text{mod}\space 2020\\=(-36)\space \text{mod}\space 2020\\=\left((-1).2020+1983\right)\space\text{mod}\space 2020\\=1983$
Jadi, $(2011+2012+2013+\cdots+2020)$ semisal dibagi $2020$ maka mau bersisa $1983$
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
$$(ab)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)(b\space \text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(7\times 9\times 10)$ oleh $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7\times 9\times 10)\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)(9\space\text{mod}\space8)(10\space\text{mod}\space 8)\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(7\times 1\times 2)\space\text{mod}\space 8\\&=14\space\text{mod}\space 8\\&=6\end{align*}$
2) Berpakah digit terakhir (satuan) dari $(2020\times 2020\times 2020\times 2020)$?
Jawab:
Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa semisal dibagi $10$
$(2020\times 2020\times 2020\times 2020)\space \text{mod}\space 10\\=(6\times 7\times 8\times 9)\space \text{mod}\space 10\\=(42\times 72)\space \text{mod}\space 10\\=(2\times 2)\space \text{mod}\space 10\\=4\space\text{mod}\space 10\\=4$
Jadi, digit terakhir dari $(2020\times 2020\times 2020\times 2020)$ adalah $4$
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$$a^b\space\text{mod}\space n=\left((a\space \text{mod}\space n)^b\right)\space \text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa semisal $7^{2020}$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7^{2020})\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)^{2020}\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(-1)^{2020}\space \text{mod}\space 8\\&=(-1)\space \text{mod}\space 8\\&=7\end{align*}$
Jadi, $7^{2020}$ semisal dibagi $8$ maka mau bersisa $7$
2) Berapakah sisa semisal $3^{2009}$ dibagi oleh $41$?
Jawab:
$3^{2009}\space\text{mod}\space 41 \\=(3^{2008}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((3^4)^{502}.3\right)\space \text{mod}\space 41\\=(81^{502}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((2.41-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=\left((-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=(1.3)\space\text{mod}\space 41\\=3\space\text{mod}\space 41\\=3$
Jadi, $3^{2009}$ dibagi $41$ mau bersisa $3$
3) Berapakah sisa $\left(54^{54}+55^{55}\right)$ semisal dibagi $7$?
Jawab:
$\left(54^{54}+55^{55}\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((8.7-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(8.7-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\\=\left(((-2)^3)^{18}\space \text{mod}\space 7+(-1)\space \text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-8)^{18}\space\text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left(((-1).7+(-1))^{18}\space \text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=((-1)^18\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1+6)\space\text{mod}\space 7\\=7\space \text{mod}\space 7=0$
Jadi, $54^{44}+55^{55}$ semisal dibagi $7$ tidak bersisa
Operasi kepada Kongruensi Modulo
Apa yg mau terjadi semisal bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian lagi pembagian kepada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi kepada kongruensi modulo
Penjumlahan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita tambah $c$, maka berlaku:
$$(a+c)\equiv (b+c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika kepada $16\equiv 1\space\text{mod}\space 5$, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: $19\equiv 4\space \text{mod}\space 5$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $19\equiv 4\space\text{mod}\space 5$ bernilai benar, karena $19=3\times 5+4$ (19 bersisa 4 semisal dibagi 5)
Pengurangan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space \text{mod}\space m$ kedua ruas kita kurangi $c$, maka berlaku:
$$(a-c)\equiv(b-c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika bentuk $23\equiv 7\space\text{mod}\space 8$, kedua ruas kita kurangi $5$, maka kita peroleh: $18\equiv 2\space\text{mod}\space 8$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $18\equiv 2 \space\text{mod}\space 8$ bernilai benar, karena $18=2\times 8+2$
Perkalian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita kali $c$, maka berlaku:
$$(ac)\equiv(bc)\space\text{mod}\space m$$
Pembagian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita bagi $c$, maka berlaku:
$$a\equiv b\space\text{mod}\space\frac{m}{FPB(m,c)}$$
Demikianlah pembahasan konsep modulo yg bisa kami bagikan kepada kesempatan ini. Jika ada kekeliruan kepada tulisan ini mohon bantu koreksi dengan memberitahu kami melalui kolom komentar. Berikutnya insyaAlloh kami mau membahas Teorema Kecil Fermat (Fermat's Little Theorem) yang pastinya mau mempermudah perhitungan kita yg berkaitan dengan modulo. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Semoga bermanfaat
Penulisan Modulo
Pada tulisan ini kami mau menggunakan tanda "$=$" agar lebih kolor lekeh dipahami, namun perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai berikut:
$$a\equiv b\mod{m}$$
yang artinya $m$ membagi habis $(a-b)$ alias dengan kata lain "Jika $a$ dibagi $m$ maka mau bersisa $b$"
Contoh:
$30\equiv 2\mod{4}$
Artinya $4$ membagi habis $(30-2)$, alias "Jika 30 dibagi 4 maka mau berbsisa 2". Jika menggunkan tanda "$=$" bisa kita tulis $30\space\text{mod}\space 4=2$
Aturan/Kaidah Dasar Modulo
Berikut ini beberapa kaidah dasar yg perlu anda pahami untuk bisa menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo
Kaidah Dasar 1
$$a\space\text{mod}\space n=(bn+c)\space \text{mod}\space n=c\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa $7$ digabi $9$?
Jawab:
$7\space\text{mod}\space 9=7$
Jadi, 7 dibagi 9 mau bersisa 7
2) Berapakah sisa $35$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}35\space\text{mod}\space 8&=(4.8+3)\space\text{mod}\space 8\\&=3\space \text{mod}\space 8\\&=3\end{align*}$
Jadi, $35$ dibagi $8$ mau bersisa $3$.
3) Berapakah sisa $120$ dibagi $13$?
Jawab:
$\begin{align*}120\space\text{mod}\space 13&=(10.13-10)\space\text{mod}\space 13\\&=(-10)\space\text{mod}\space 13\\&=((-1).13+3)\space\text{mod}\space 13\\&=3\space\text{mod}\space 13\\&=3\end{align*}$
Jadi, $120$ dibagi $13$ bersisa $3$
Semoga kaidah dasar 1 ini bisa anda pahami, karena mau kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
$$(a+b)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)+(b\space\text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(10+17+21)$ oleh $9$?
Jawab:
$\begin{align*}(10+17+21)\space\text{mod}\space 9&=(10\space\text{mod}\space 9+17\space\text{mod}\space 9+21\space\text{mod}\space 9)\space \text{mod}\space 9\\&=(1+8+3)\space\text{mod}\space 9\\&=12\space\text{mod}\space 9\\&=3\space\text{mod}\space 9\\&=3\end{align*}$
Jadi $(10+17+21)$ semisal dibagi $9$ maka mau bersisa $3$
2) Berapakah sisa $(2011+2012+2013+\cdots+2020)$ dibagi $2020$?
Jawab:
$(2011+2012+2013+\cdots+2020)\space\text{mod}\space 2020\\=(-8-7-6-\cdots-1)\space\text{mod}\space 2020\\=(-36)\space \text{mod}\space 2020\\=\left((-1).2020+1983\right)\space\text{mod}\space 2020\\=1983$
Jadi, $(2011+2012+2013+\cdots+2020)$ semisal dibagi $2020$ maka mau bersisa $1983$
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
$$(ab)\space\text{mod}\space n=\left((a\space\text{mod}\space n)(b\space \text{mod}\space n)\right)\space\text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian $(7\times 9\times 10)$ oleh $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7\times 9\times 10)\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)(9\space\text{mod}\space8)(10\space\text{mod}\space 8)\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(7\times 1\times 2)\space\text{mod}\space 8\\&=14\space\text{mod}\space 8\\&=6\end{align*}$
2) Berpakah digit terakhir (satuan) dari $(2020\times 2020\times 2020\times 2020)$?
Jawab:
Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa semisal dibagi $10$
$(2020\times 2020\times 2020\times 2020)\space \text{mod}\space 10\\=(6\times 7\times 8\times 9)\space \text{mod}\space 10\\=(42\times 72)\space \text{mod}\space 10\\=(2\times 2)\space \text{mod}\space 10\\=4\space\text{mod}\space 10\\=4$
Jadi, digit terakhir dari $(2020\times 2020\times 2020\times 2020)$ adalah $4$
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$$a^b\space\text{mod}\space n=\left((a\space \text{mod}\space n)^b\right)\space \text{mod}\space n$$
Contoh:
1) Berapakah sisa semisal $7^{2020}$ dibagi $8$?
Jawab:
$\begin{align*}(7^{2020})\space \text{mod}\space 8&=\left((7\space\text{mod}\space 8)^{2020}\right)\space\text{mod}\space 8\\&=(-1)^{2020}\space \text{mod}\space 8\\&=(-1)\space \text{mod}\space 8\\&=7\end{align*}$
Jadi, $7^{2020}$ semisal dibagi $8$ maka mau bersisa $7$
2) Berapakah sisa semisal $3^{2009}$ dibagi oleh $41$?
Jawab:
$3^{2009}\space\text{mod}\space 41 \\=(3^{2008}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((3^4)^{502}.3\right)\space \text{mod}\space 41\\=(81^{502}.3)\space\text{mod}\space 41\\=\left((2.41-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=\left((-1)^{502}.3\right)\space\text{mod}\space 41\\=(1.3)\space\text{mod}\space 41\\=3\space\text{mod}\space 41\\=3$
Jadi, $3^{2009}$ dibagi $41$ mau bersisa $3$
3) Berapakah sisa $\left(54^{54}+55^{55}\right)$ semisal dibagi $7$?
Jawab:
$\left(54^{54}+55^{55}\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((8.7-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(8.7-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-2)^{54}\space\text{mod}\space 7+(-1)^{55}\space\text{mod}\space 7\right)\\=\left(((-2)^3)^{18}\space \text{mod}\space 7+(-1)\space \text{mod}\space 7\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left((-8)^{18}\space\text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=\left(((-1).7+(-1))^{18}\space \text{mod}\space 7+6\right)\space\text{mod}\space 7\\=((-1)^18\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1\space \text{mod}\space 7+6)\space \text{mod}\space 7\\=(1+6)\space\text{mod}\space 7\\=7\space \text{mod}\space 7=0$
Jadi, $54^{44}+55^{55}$ semisal dibagi $7$ tidak bersisa
Operasi kepada Kongruensi Modulo
Apa yg mau terjadi semisal bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian lagi pembagian kepada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi kepada kongruensi modulo
Penjumlahan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita tambah $c$, maka berlaku:
$$(a+c)\equiv (b+c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika kepada $16\equiv 1\space\text{mod}\space 5$, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: $19\equiv 4\space \text{mod}\space 5$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $19\equiv 4\space\text{mod}\space 5$ bernilai benar, karena $19=3\times 5+4$ (19 bersisa 4 semisal dibagi 5)
Pengurangan Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space \text{mod}\space m$ kedua ruas kita kurangi $c$, maka berlaku:
$$(a-c)\equiv(b-c)\space\text{mod}\space m$$
Contoh:
Jika bentuk $23\equiv 7\space\text{mod}\space 8$, kedua ruas kita kurangi $5$, maka kita peroleh: $18\equiv 2\space\text{mod}\space 8$.
Dapat kita lihat untuk pernyataan $18\equiv 2 \space\text{mod}\space 8$ bernilai benar, karena $18=2\times 8+2$
Perkalian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita kali $c$, maka berlaku:
$$(ac)\equiv(bc)\space\text{mod}\space m$$
Pembagian Kedua Ruas
Jika bentuk $a\equiv b\space\text{mod}\space m$ kedua ruas kita bagi $c$, maka berlaku:
$$a\equiv b\space\text{mod}\space\frac{m}{FPB(m,c)}$$
Demikianlah pembahasan konsep modulo yg bisa kami bagikan kepada kesempatan ini. Jika ada kekeliruan kepada tulisan ini mohon bantu koreksi dengan memberitahu kami melalui kolom komentar. Berikutnya insyaAlloh kami mau membahas Teorema Kecil Fermat (Fermat's Little Theorem) yang pastinya mau mempermudah perhitungan kita yg berkaitan dengan modulo. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Semoga bermanfaat
Tidak ada komentar:
Posting Komentar