Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak - Konsep Dasar, Contoh Soal Bersama Pembahasan

panas

m4th-lab.net - Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak - Konsep dasar, contoh soal beserta pembahasan

Sebelumnya, m4th-lab sedia menyajikan penjelasan konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak dilengkapi dengan contoh soal beserta pembahasan yg merupakan materi matematika wajib kurikulum 2013 revisi yg dipelajari di kelas 10 semester pertama (semester ganjil). Melanjutkan materi tersebut, kali ini kita mau belajar materi pertidaksamaan nilai mutlak.

Apa itu pertidaksamaan nilai mutlak?

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan pertidaksamaan yg variabelnya berada dalam tanda mutlak. Ada banyak cara yg angsal kita lakukan untuk menyelesaikan berbagai bentuk pertidaksamaan nilai mutlak diantaranya:

1. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak bentuk umum
2. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak dengan mengkuadratkan kedua ruas
3. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan grafik
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan analisis $x$ (Definisi Nilai Mutlak)

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh soal beserta berbagai cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak yg mau di bahas kepada tulisan ini.

Catatan: Jika saat membuka laman ini terjadi "Math Processing Error" silakan reload laman. Sangat disarankan membuka laman ini melalui PC/Laptop untuk menghindari equation yg terpotong, ataupun apabila menggunakan mobile/android silakan buka dengan mode landscape bukan portrait.

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak?

1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk Umum

untuk bentuk tertentu, pertidaksamaan nilai mutlak angsal diselesaiakan secara umum sebagai berikut:

1. Bentuk $\left |f(x)\right| \lt p$ angsal diubah ke bentuk $-p\lt f(x)\lt p$
2. Bentuk $\left |f(x) \right|\gt p$ angsal diubah ke bentuk $f(x)\lt -p$ ataupun $f(x)\gt p$
3. Bentuk $\left | f(x) \right |\gt\left |g(x)\right|$ angsal diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\gt 0$
4. Bentuk $\left | f(x) \right |\lt\left |g(x)\right|$ angsal diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\lt 0$
5. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\lt k$ angsal diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\lt 0$
6. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ angsal diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

Perhatikan beberpa contoh berikut:

Contoh 1:

Tentukan nilai $x$ yg memenuhi pertidaksamaan $\left |3x-1 \right|-2\lt 5$

Jawab:

$\begin{align*}|3x-1|-2&\lt 5\\|3x-1|&\lt 7\end{align*}$

Petidaksamaan di atas sesuai dengan bentuk $|f(x)|\lt p$ maka angsal kita ubah ke bentuk $-p\lt f(x)\lt p$. Dengan demikian pertidaksamaan $|3x-1|\lt 7$  angsal diubah menjdi:

$$-7\lt 3x-1\lt 7\\-7+1\lt 3x-1+1\lt  7+1\\-6\lt 3x \lt 8\\-2\lt x \lt \frac{8}{3} $$

---

Contoh 2:

Tentukan nilai $x$ yg memenuhi pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$

Jawab 2 :

Bentuk pertidaksamaan di atas sesuai dengan bentuk $|f(x)|\gt p$ maka angsal diubah ke bentuk $f(x)\lt-p$ ataupun $f(x)\gt p$

$$|3x-2|\gt 4\\3x-2\lt -4 \space \text{atau}\space 3x-2\gt 4\\3x\lt -2 \space\text{atau}\space 3x\gt 6\\x\lt -\frac{2}{3}\space\text{atau}\space x\gt 2$$

---

Contoh 3:

Tentukan nilai $x$ yg memenuhi $|2-x|\geq |2x-1|$

Jawab:

$|2-x|\geq|2x-1|$ memenuhi bentuk $|f(x)|\geq|g(x)|$ maka bisa kita ubah menjadi $\left(f(x)+g(x)\right)\left(f(x)-g(x)\right)\geq 0$

$\begin{align*}\left(2-x+2x-1\right)\left(2-x-(2x-1)\right)&\geq 0\\ \left(x+1\right)\left(2-x-2x+1\right)&\geq 0\\(x+1)(-3x+3)&\geq 0 \space\text{kedua rusa kali  }(-1)\\(x+1)(3x-3)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

panas
panas

---

Contoh 4:

Tentukan nilai $x$  yg memenuhi pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$

Jawab:

Pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$ memenuhi pertidaksamaan $|f(x)|\leq|g(x)|$, maka angsal kita ubah menjadi $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\leq 0$

$\begin{align*}|2x-3|&\leq|x+4|\\(2x-3+x+4)(2x-3-(x+4))&\leq 0\\(3x+1)(2x-3-x-4)&\leq 0\\(3x+1)(x-7)&\leq 0\\-\frac{1}{3}\leq x&\leq 7\end{align*}$

---

Contoh 5:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$

Jawab:

Pertidaksaman $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$ memenuhi bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ maka angsal diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

$\begin{align*}\left(2x-1+3(x+5)\right)\left(2x-1-3(x+5)\right)&\gt 0\\ \left(2x-1+3x+15\right)\left(2x-1-3x-15\right)&\gt 0\\(5x+14)(-x-16)&\gt 0\space\text{kali dengan }(-1)\\(5x+14)(x+16)&\lt 0\\-16\lt x &\lt -\frac{14}{5}\end{align*}$

---

Contoh 6:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3+\frac{7}{x}\right|\gt 1$

Jawab:

$\begin{align*}\left|3+\frac{7}{x}\right|&\gt 1\\ \left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\end{align*}$

Pertidaksamaan $\left| \frac{3x+7}{x}\right|\gt 1$ memenuhi bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ angsal diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$ 

$\begin{align*}\left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\\(3x+7+x)(3x+7-x)&\gt 0\\(4x+7)(2x+7)&\gt 0\\x\lt -\frac{7}{2}\space\text{atau}\space x\gt -\frac{7}{4}\end{align*}$

panas
panas

---

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Dengan Mengkuadratkan Kedua Ruas

Menyelesaikan pertidaksamaan nillai mutlak dengan cara mengkuadratkan kedua ruas hanya boleh dilakuakan apabila kedua ruas bernilai positif. Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 7: (soal sama dengan contoh 2)

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$ adalah ....

Jawab:

Karena ruas kiri beserta ruas kanan pertidaksamaan bernilai positif, maka angsal kita selesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|3x-2|\right)^2&\gt 4^2\\9x^2-12x+4&\gt 16\\9x^2-12x-12&\gt 0\space \text{bagi dengan 3}\\3x^2-4x-4&\gt 0\\(3x+2)(x-2)&\gt 0\\x\lt -\frac{2}{3}\space \text{atau}\space x&\gt 2\end{align*}$ 

---

Contoh 8: (soal sama dengan contoh 3)

Tentukan nilai $x$ yg memenuhi $|2-x|\geq |2x-1|$

Jawab:

Karena kedua ruas bernilai positif, maka angsal kita selesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|2-x|\right)^2&\geq\left(|2x-1|\right)^2\\4-4x+x^2&\geq 4x^2-4x+1\\-3x^2+3&\geq 0\space\text{kedua ruas bagi }(-3)\\x^2-1&\leq 0\\()(x+1)(x-1)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

---

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Grafik

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan metode grafik cara menggunakannya adalah dengan memisalkan pertidaksamaan ruas kiri beserta ruas kanan sebagai fungsi yg berbeda. Misal ruas kiri sebagai $y_1$ beserta ruas kanan sebagai $y_2$. Jika tanda pertidaksamaan $\gt$ ataupun $\geq$ maka jawabannya adalah himpunan $y_1$ yg terletak  di atas $y_2$. Begitu pula sebaliknya, apabila tanda pertidaksamaan $\lt$ ataupun $\leq$ maka penyelesiannya $y_1$ yg terletak di bawah $y_2$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 9:

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|x-2|\gt $3 adalah ....

Jawab:

misal $y_1=|x-2|$ beserta $y_2=3$

Selanjutnya, kita buat grafik kedua fungsi

warna biru merupakan grafik fungsi $y_1=|x-2|$ beserta warna merah merupakan grafik fungsi $y_2=3$.
Kedua grafik fungsi berpotongan di $x=-1$ beserta $x=5$, untuk pertidaksamaan $|x-2|\gt 3$, maka lihat kepada grafik dimana  warna biru terletak di atas warna merah. Maka penyelesaiaannya adalah $x\lt -1$ ataupun $x\gt 5$

panas

4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Analisi Nilai $x$ (Sifat Nilai Mutlak)

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara melakukan analisis nilai $x$ beserta kemudian memperhatikan definisi nilai mutlak merupakan cara yg paling "aman" dilakukan, selain itu cara ini juga berlaku untuk berbagai bentuk pertidaksamaan nilai mutlak.

Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan analisis nilai $x$ adalah sebagi berikut:

untuk bentuk tertentu, pertidaksamaan nilai mutlak angsal diselesaiakan secara umum sebagai berikut:

1. Tentukan pembuat nol nilai mutlak kemudian jadikan nilai pembuat nol tersebut sebagi batas interval.
2. Tentukan bentuk sederhana setiap nilai mutlak kepada interval nilai $x$ yg sudah ditentukan beserta cari irisan penyelesaian nilai mutlak. Penyelesaian yg diperoleh merupakan penyelesaian kepada interval tersebut
3. Penyelesaian pertidaksamaan adalah gabungan penyelesaian setiap interval

perhatikan beberpa contoh berikut:

Contoh 10: (SBMPTN 2020 Matematika IPA Kode 139)

Banyak bilangan bulat positif $x$ yg memenuhi pertidaksamaan $\frac{x-|2-x|}{x^2-3x-10}\leq 0$ adalah ....

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

Jawab:

Pembuat nol pertidaksamaan:

$2-x=0 \Leftrightarrow  x=2$

maka interval yg kita peroleh adalah $x\leq 2$ beserta $x\geq 2$

Untuk $x\leq 2$

untuk $x\leq 2$ maka $|2-x|=2-x$, sehingga pertidaksamaan diperoleh:

$\begin{align*}\frac{x-(2-x)}{x^2-3x-10}&\leq 0 \\ \frac{2x-2}{(x-5)(x+2)}&\leq 0\end{align*}$

Titik kritis: $x=-2$, $x=1$, $x=5$

nilai $x$ yg memenuhi kepada interval $x\leq 2$ adalah $x\lt -2$ ataupun $1\leq x\leq 2$, maka bilangan bulat yg memenuhi penyelesaian tersebut adalah 1 beserta 2

Untuk $x\geq 2$

Untuk $x\geq 2$ maka $|2-x|=-(2-x)=x-2$ sehingga pertidaksamaan diperoleh:

$\begin{align*}\frac{x-(x-2)}{x^2-3x-10}&\leq 0\\ \frac{2}{(x-5)(x+2)}&\leq 0\end{align*}$

Titik kritis: $x=-2$ beserta $x=5$

nilai $x$ yg memenuhi kepada interval $x\geq 2$ adalah $2\leq x \lt 5$, maka bilangan bulat yg memenuhi penyelesaian tersebut adalah 2, 3, 4

Dengan demikian, nilai bulat yg memenuhi interval $x\leq 2$ beserta $x\geq 2$ adalah 1, 2, 3, 4 ada sebanyak 4 buah bilangan bulat, maka jawaban yg tepat adalah C

Demikianlah beberapa cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga angsal membantu