Induksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika, selain Induksi Matematika ada beberapa metode lain yg biasa digunakan dalam pembuktian kebenaran suatu pernyataan seperti pembuktian langsung, pembuktian tak lanngsung, trivial, beserta sebagainya. Namun dalam tulisan ini kita hanya mau membahas metode pembuktian dengan induksi matematika, dimana materi ini sudah di pelajari sejak SMA (untuk kurikulum 2013, induksi matematika dipelajari di kelas XI matematika wajib)
Sebelumnya, saya pernah membuat tulisan mengenai konsep dasar mengenai induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, beserta induksi matematika kuat .
Maksud dari induksi matematika adalah membuktikan sesuatu yg umum, diturunkan dari beberapa hal yg khusus, beserta cara ini berlaku untuk semua $n$ bilangan asli.
Untuk membuktikan bahwa suatu rumus berlaku untuk semua bilangan asli, cara pembuktiannya diperlukan 2 tahapan, yaitu:
- Tunjukkan benar untuk $n=1$
- Tunjukkan benar untuk $n=k$ beserta benar juga untuk $n=k+1$
Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka rumus tersebut benar untuk setian $n\in N$.
Berikut ini saya sajikan beberapa contoh pembuktian dengan induksi matematika meliputi pembuktian deret bilangan beserta pembuktian pertidaksamaan
demam
demam
Pembuktian Deret Bilangan dengan Induksi Matematika
Untuk contoh soal no 1 sampai no 3 saya bahas dengan menggunakan notasi sigma, jadi sebaiknya pelajari dulu konsep beserta sifat-sifat notasi sigma disini
Contoh 1
Buktikan bahwa jumlah $n$ suku pertama bilangan ganjil adalah $n^2$
Pembahasan:
Pernyataan kepada soal di atas bisa ditulis:
$\begin{align*}1+3+5+\cdots+(2n-1)&=n^2\\\sum_{i=1}^{n}\left(2i-1\right )&=n^2\end{align*}$
Langkah 1
Untuk $n=1$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=1=1^2$ (Benar)
Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas berlaku untuk $n=k$, maka:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(2i-1)=k^2$ (Hipotesis)
Berdasarkan hipotesis diatas, mau kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar juga untuk $n=k+1$, maka haruslah $\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1)=(k+1)^2$
kita mau bekerja di ruas kiri
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)&=\sum_{i=1}^{k}(2i-1)+\sum_{i=k+1}^{k+1}(2i-1)\\&=k^2+\left\{ 2(k+1)-1\right \}\\&=k^2+2k+1\\&=(k+1)^2\end{align*}$
Karena pernyataan di atas benar untuk $n=1$ beserta $n=k+1$, maka $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$ adalah benar.
Contoh 2:
Buktikan bahwa:
$1^2+2^2+3^2+\cdots+n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
Pembahasan:
Pernyataan kepada soal di atas bisa ditulis:
$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
Langkah 1
Untuk $n=1$,
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{1}i^2&=\frac{1}{6}(1)(1+1)(2+1)\\1&=1\space\text{ (Benar)}\end{align*}$
Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$ (Hipotesis)
Untuk $n=k+1$ maka haruslah
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1} i^2&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{ (k+1)+1\right \} \left\{ 2(k+1)+1\right \} \\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$
Bukti:
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i^2&=\sum_{i=1}^{k}i^2+\sum_{i=k+1}^{k+1}i^2\\&=\left(\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)\right)+(k+1)^2\\&=\frac{1}{6}(k+1)\left\{k(2k+1)+6(k+1)\right\}\\&=\frac{1}{6}(k+1)(2k^2+k+6k+6)\\&=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\end{align*}$
Contoh 3:
Buktikan $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)$
Pembahasan:
Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$ (Benar)
Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k}{2}(k+1)$ (Hipotesis)
Untuk $n=k+1$ jumlahnya haruslah:
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\frac{k+1}{2}\left\{(k+1)+1 \right\}\\&=\left(\frac{k+1}{2}\right)(k+2)\end{align*}$
Bukti:
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{k+1}i&=\sum_{i=1}^{k}i+\sum_{i=k+1}^{k+1}i\\&=\frac{k}{2}(k+1)+(k+1)\\&=\left(\frac{k}{2}+1\right)(k+1)\end{align*}$
Contoh 4:
Buktikan bahwa $\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2$
Pembahasan:
Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1^3&=\frac{1}{4}(1^2)(1+1)^2\\1&=\frac{1}{4}(1)(4)\\1&=1\space\text{ (Benar)}\end{align*}$
Langkah 2
Misalkan benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2$
akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2((k+1)+1)^2\\ \frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2\\\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2&=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2 \end{align*}$
Tips : Jika ada karakter/persamaan matematika kepada tulisan ini yg tidak tampil sempurna maupun terpotong karena anda membuka laman ini melelui mobile (android), masalah karena resolusi yg tidak memadai, sebaiknya kunjungi laman ini menggunakan PC/laptop. Jika menggunakan handphone sebaiknya dalam posisi landscape
Contoh 5
Buktikan bahwa $\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(n.n!)=(n+1)!-1$
Pembahasan:
Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$\begin{align*}1.1!&=(1+1)!-1\\1.1&=2!-1\\1&=2-1\\1&=1\space\space\space\text{(Benar)}\end{align*}$
Langkah 2
Misal benar untuk $n=k$, yaitu:
$\displaystyle (1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)=(k+1)!-1$
Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}(1.1!)+(2.2!)+(3.3!)+\cdots+(k.k!)+\left((k+1)(k+1)!\right)&=\left((k+1)+1\right)!-1\\(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!&=(k+2)!-1\\(k+1)!(1+k+1)-1&=(k+2)!-1\\(k+1)!(k+2)-1&=(k+2)!-1\\(k+2)!-1&=(k+2)!-1\end{align*}$
demam
Pembuktian Keterbagian dengan Induksi Matematika
Contoh 6
Buktikan untuk $n\in$ bilangan asli $4^n-1$ habis dibagi 3
Pembahasan:
Langkah 1
Untuk $n=1$, maka:
$4^1-1=3$ (habis dibagi 3)
Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, maka $4^k-1$ habis dibagi 3 (hipotesis)
Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{k+1}-1&=4.4^k-1\\&=3.4^k+4^k-1\\&=3.4^k+\left(4^k-1\right)\end{align*}$
Jelas $3.4^k$ merupakan kelipatan 3 beserta berdasarkan hipotesis $4^k-1$ merupakan kelipatan 3, maka terbukti bahwa $4^n-1$ habis dibagi 3 untuk $n\in $ bilangan asli
Contoh 7
Buktikan $\displaystyle a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$
Pembahasan:
Langkah 1
Untuk $n=1$, maka $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Karena $(a-b)(a+b)$ habis dibagi $(a+b)$, maka pernyataan tersebut benar untuk $n=1$
Langkah 2
Misalkan pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$.
Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}a^{2(k+1)-b^{2(k+1)}}&=a^{2k+2}-b^{2k+2}\\&=a^2(a^{2k}-b^{2k})+b^{2k}(a^2-b^2)\end{align*}$
Karena $a^{2k}-b^{2k}$ habis dibagi $(a+b)$ beserta $a^2-b^2$ juga habis dibagi $(a+b)$, maka $a^{2n}-b^{2n}$ habis dibagi oleh $(a+b)$
Baca: Download Bank soal induksi matematika format pdf
Contoh 8
Buktikan $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12
Pembahasan:
Langkah 1
Untuk $n=1$
$4^{1+1}-4=4^2-4=16-4=12$ (habis dibagi 12)
Langkah 2
Misal pernyataan tersebut benar untuk $n=k$, yaitu:
$4^{k+1}-4$ habis dibagi 12
Akan dibuktikan untuk $n=k+1$
$\begin{align*}4^{(k+1)+1}-4&=4^{k+2}-4\\&=16.4^k-4\\&=12.4^k+4.4^k-4\\&=12.4^k+(4^{k+1}-4)\end{align*}$
Karea $12.4^k$ beserta $4^{k+1}-4$ habis dibagi 12, maka $4^{n+1}-4$ habis dibagi 12
Contoh 9:
Buktikan bahwa $P(n)=n(n+1)(n+5)$ habis dibagi 3
Pembahasan:
Langkah 1
Untuk $n=1$, maka
$P(1)=1(1+1)(1+5)=12$ (habis dibagi 3)
Langkah 2
Misalkan pernyataan di atas benar untuk $n=k$, maupun dengan kata lain $P(k)$ merupakan kelipatan 3,
$P(k)=k(k+1)(k+5)=k^3+6k^2+5k$
Akan dibuktikan bahwa $P(k+1)$ merupakan kelipatan 3:
$\begin{align*}P(k+1)&=(k+1)\left((k+1)+1\right)\left((k+1)+5\right)\\&=(k+1)(k+2)(k+6)\\&=k^3+9k^2+10k+12\\&=(k^3+6k^2+5k)+(3k^2+15k+12)\\&=(k^3+6k^2+5k)+3(k^2+5k+4)\end{align*}$
Berdasarkan hipotesis, $k^3+6k^2+5k$ merupakan kelipatan 3 beserta $3(k^2+5k+4)$ jelas merupakan kelipatan 3, maka bisa disimpulkan bahwa $P(n)$ habis dibagi 3 untuk $n\in N$
demam
Pembuktian Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika
Contoh 10:
Buktikan bahwa
$$n^2 \geq 2n+7$$
untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$
Pembahasan:
Kita gunakan induksi matematika umum, dengan:$P(n)\equiv n^2 \geq 2n+7$
Kita mau membuktikan bahwa $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n$ dengan $ n\geq 4$.
Langkah 1 (Langkah dasar):
kita mau membuktikan kebenaran $P(4)$
$P(4)\equiv 4^2\geq 2(4)+7\Leftrightarrow 16\geq 15$ (Benar)
Langkah 2 (Langkah Induksi):
kita misalkan $P(k)$ benar untuk $k \geq 4$
$P(k)\equiv k^2 \geq 2k+7$ untuk $ k \geq 4$ (hipotesis)
dari hipotesis kita peroleh:
$k^2 \geq 2k+7$ jika kedua ruas kita tambah $2k+1$, maka:
$k^2+2k+1 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 4k+8$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(k+3)$ karena $k \geq 4$ maka $k+3 \geq 7$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+2(7)$
$(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$
Dengan menggunakan hal di atas, kita mau membuktikan $P(k+1)$, yaitu:
$$P(k+1) \equiv (k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$$
karena $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+14$ kepada hipotesis kita misalkan benar, maka $(k+1)^2 \geq 2(k+1)+7$ benar (karena 14 > 7)
Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$
Demikianlah beberapa soal beserta pembahasan terkait materi induksi matermatika yg dipelajari di kelas XI Matematika wajib. Semoga bermanfaat
Jika menginginkan file pdf untuk tulisan ini, silakan download melalui link berikut:
Download format pdf artikel ini
Tidak ada komentar:
Posting Komentar