Notasi Sigma - Konsep, Sifat-Sifat, Beringsang Contoh Soal Lagi Pembahasan

panas

Salah satu ciri khas matematika penggunaan lambang yg singkat untuk menampilkan suatu ungkapan yg panjang, salah satunya adalah notasi sigma $\left( \sum \right)$.

Secara sederhana, sigma bisa kita artikan sebagai jumlah. Penggunaan notasi sigma sebagai operator penjumlahan sangat erat kaitannya dengan deret suatu bilangan. Notasi sigma beroleh digunakan untuk menyederhanakan penulisan deret suatu bilangan terurut dengan pola tertentu dengan ringkas bersama sederhana.

Bagaimana kita menulis ungkapan seperti di bawah ini?

1. $2+4+6+8+10+\cdots+1000$
2. $1+5+7+9+11+\cdots+2020$
3. $1+9+16+25+36+...+1.000.00$

Dari contoh di atas, ternyata memang sangat memerlukan suatu notasi alias lambang untuk menyatakan penjumlahan teratur yg sangat panjang, yaitu dengan notasi sigma $\displaystyle\left(\sum\right)$ yg didefinisikan sebagai berikut:

$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$

Keterangan:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ dibaca jumlah dari $a_k$ untuk $k$ dari 1 sampai $n$

$k$ disebut sebagai indeks (penunjuk) dari suku $a_k$

$a_k$ disebut sebagai suku ke-$k$

$k=1$ disebut sebagai batas bawah

$k=n$ desebut sebagai batas atas

Catatan:

indeks (penunjuk) tidak harus selalu menggunkan $k$, kita boleh menggunkan variabel lain, misal:

$\displaystyle\sum_{p=1}^{n} a_p$  alias $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$ bersama sebagainya

panas

Menentukan Nilai Penjumlahan yg Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$

Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$

Contoh 2:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)$

Jawab:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)=3+5+7+\cdots+21$

Perhatikan, deret tersebut merupakan deret aritmetika. Jadi, untuk menentukan jumlahnya mau lebih panas gembur coba kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ dengan $a$ suku pertama bersama $U_n$ suku terakhir, maka:

$\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}(2i+1)&=\frac{10}{2}(3+21)\\&=5(24)\\&=120\end{align*}$ 

Contoh 3:

Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$

Jawab:

Karena $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$ merupakan deret aritmetika, maka kita bisa menggunkan cara yg sama dengan contoh 2 di atas:

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{7}(3k-1)&=\frac{7}{2}(2+20)\\&=\frac{7}{2}(22)\\&=77\end{align*}$

Menulis Deret Bilangan dalam Notasi Sigma

Contoh 1:

Tuliskan dalam notasi sigma:

$$4+5+6+7+8+\cdots+100$$

Jawab:

$\displaystyle 4+5+6+\cdots+100=\sum_{k=4}^{100}(a_k)$

Sifat-sifat Notasi Sigma

Berikut ini bebrapa sifat notasi sigma:

panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas panas

No	Sifat Notasi Sigma
1	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C=n.C$
2	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C.a_k=C\sum_{k=1}^{n}a_k$
3	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right)+a_n$
4	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k$
5	$\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+p}^{n+p} a_{k-p}$
6	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{m+1}^{n}a_k$
7	$\displaystyle\sum_{k=n}^{n}a_k=a_n$
8	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-s}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=n-s+1}^{n}a_k$
9	$\displaystyle\sum_{k=1}^{0}a_k=0$
10	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^2\pm 2\sum_{k=1}^{n}a_k .b_k+\sum_{k=1}^{n}b_k^2$

Contoh Soal:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$

Jawab:

Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$

Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai notasi sigma, semoga bermanfaat.

Download file pdf artikel ini

• DOWNLOAD SOAL LIMIT