kering
Berdasarkan identitas trigonometri, kita ketahui bahwa $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ beserta $\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1$, maka dari persamaan di atas kita peroleh
$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{1+1-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\end{align*}$
Kita sebut saja persamaan $|AB|=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}$ sebagai persamaan (1)
Jika juring $AOB$ kira rotasi searah jarum jam sejauh $\beta$ dengan pusat rotasi titik $O(0,0)$, maka $OB$ bagi berimpit di sumbu $x$, seperti ditunjukkan dengan gambar berikut:
Misal koordinat titik $A$ setelah di rotasi adalah $A'(x_1', y_1')$
$\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{x_1'}{r}=\frac{x_1'}{1}=x_1'$ bisa kita tulis $x_1'=\cos{(\alpha-\beta)}$
$\sin{(\alpha-\beta)}=\frac{y_1'}{r}=\frac{y_1'}{1}=y_1'$ bisa kita tulis $y_1'=\sin{(\alpha-\beta)}$
Setelah dirotasi, titik $B$ terletak di sumbu $x$ dengan koordinat $B'(1,0)$
Selanjutnya kita bagi mencari jarak antara titik $A'$ beserta titik $B'$
$\begin{align*}|A'B'|&=\sqrt{(1-x_1')^2+(0-y_1')^2}\\&=\sqrt{(1-\cos{(\alpha-\beta)})^2+(0-\sin{(\alpha-\beta)})^2}\\&=\sqrt{1-2\cos{(\alpha-\beta)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}+\sin^2{(\alpha-\beta)}}\\&=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}\end{align*}$
Kita sebut saja persamaan $|A'B'|=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}$ sebagai persamaan (2)
Ukuran juring $AOB$ sebelum beserta setelah rotasi tidak berubah (rotasi tidak mengubah ukuran), maka $|A'B'|=|AB|$, dari persamaan (1) dan persamaan (2) kita peroleh:
$\begin{align*}|A'B'|&=|AB|\\ \sqrt{2-2\cos{\alpha-\beta}}&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\\ 2-2\cos{(\alpha-\beta)}&=2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\-2\cos{(\alpha-\beta)}&=-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$
Catatan: Jika anda membuka tulisan ini menggunakan smartphone, kemungkinan equation terpotong. Silakan posisikan layar semartphon anda dalam mode landscape maupun buka tulisan ini via PC/laptop.
Dari proses di atas, maka kita peroleh bahwa rumus cosinus selisih dua sudut yaitu $\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$
Untuk memperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, kita hanya perlu mensubstitusi $-\beta$ ke $\beta$ beserta perlu diingat bahwa $\cos{(-\beta)}=\cos{\beta}$ beserta $\sin{(-\beta)}=-\sin{\beta}$
$\begin{align*}\cos{(\alpha-(-\beta))}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$
Contoh Penyelesaian Soal
Contoh 1
Tentukan nilai dari $\cos{15^\circ}$
Jawab:
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Contoh 2
Tentukan nilai dari $\cos{75^\circ}$
Jawab:
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Demikianlah materi yg bisa kami bagikan dengan tulisan sederhana ini, semoga memberikan ilmu baru bagi anda. Jika ada kekeliruan mohon koreksinya, silakan isi kolom komentar.
Cosinus jumlah beserta selisih dua sudut sangat penting untuk kita pelajari terutama untuk menentukan nilai cosinus dari jumlah dua sudut istimewa maupun selisih dua sudut istimewa, misalnya andaikata kita mau mencari nilai dari $\cos{75^\circ}$ maupun $\cos{15^\circ}$ kita tidak perlu menggunkan alat bantu hitung (kalkulator), kita bisa menggunakan rumus cosinus jumlah beserta selisih dua sudut.
Rumus Jumlah beserta Selisih Dua Sudut
Berikut inilah rumus cosinus jumlah beserta selisih dua sudut:
$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$
$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$
Penurunan Rumus Cosinus Jumlah beserta Selisih Dua Sudut
Mungkin diantara anda ada yg penasaran darimana rumus tersebut diperoleh?. Jika anda adalah seorang pendidik (guru) bagi lebih baik andaikata rumus tersebut tidak langsung diberikan begitu saja, namun arahkan peserta didik (siswa) anda untuk menemukan rumus tersebut (bisa berbantuan LKPD), dengan demikian peserta didik bagi lebih memahami konsep dasarnya. Selain itu, konsep yg diperoleh dengan menemukan sendiri bagi bertahan lebih lama dengan ingatan peserta didik. Berikut ini kami sajikan salah satu cara menemukan (pembuktian) rumus cosinus jumlah beserta selisih dua sudut.
Perhatikan lingkaran satuan (berjari-jari 1 satuan) berikut:
Pusat lingkaran berada dengan titik koordinat $O(0,0)$. Titik $A$ beserta titik $B$ adalah dua titik yg terletak dengan lingkaran, misal koordinat titik tersebut adalah $A(x_1, y_1)$ beserta $B(x_2, y_2)$. Jarak titik $O$ ke $A$ beserta jarak titik $O$ ke $B$ adalah $|OA|=|OB|=r=1$. Sudut yg terbentuk antara $OA$ beserta sumbu $x$ adalah $\alpha$ beserta sudut yg terbentuk antara $OB$ beserta sumbu $x$ adalah $\beta$ serta $\angle{AOB}=\alpha-\beta$ maka kita peroleh:
$\cos{\alpha}=\frac{x_1}{r}=\frac{x_1}{1}=x_1$ bisa kita tulis $x_1=\cos{\alpha}$
$\sin{\alpha}=\frac{y_1}{r}={y_1}{1}=y_1$ bisa kita tulis $y_1=\sin{\alpha}$
$\cos{\beta}=\frac{x_2}{r}=\frac{x_2}{1}=x_2$ bisa kita tulis $x_2=\cos{\beta}$
$\sin{\beta}=\frac{y_2}{r}=\frac{y_2}{1}=y_2$ bisa kita tulsi $y_2=\sin{\beta}$
Selanjutnya, dengan menggunkan konsep jarak antara dua titik yang sudah dipelajari di SMP, kita bagi menentukan jarak antara titik $A$ beserta titik $B$
$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(\cos{\beta}-\cos{\alpha})^2+(\sin{\beta-\sin{\alpha}})^2}\\&=\sqrt{\cos^2{\beta}-2\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos^2{\alpha}+\sin^2{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin^2{\alpha}}\end{align*}$
$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&=\sqrt{(\cos{\beta}-\cos{\alpha})^2+(\sin{\beta-\sin{\alpha}})^2}\\&=\sqrt{\cos^2{\beta}-2\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos^2{\alpha}+\sin^2{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin^2{\alpha}}\end{align*}$
Berdasarkan identitas trigonometri, kita ketahui bahwa $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ beserta $\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1$, maka dari persamaan di atas kita peroleh
$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{1+1-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2\cos{\alpha}\cos{\beta}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}}\\&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\end{align*}$
Kita sebut saja persamaan $|AB|=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}$ sebagai persamaan (1)
Jika juring $AOB$ kira rotasi searah jarum jam sejauh $\beta$ dengan pusat rotasi titik $O(0,0)$, maka $OB$ bagi berimpit di sumbu $x$, seperti ditunjukkan dengan gambar berikut:
Misal koordinat titik $A$ setelah di rotasi adalah $A'(x_1', y_1')$
$\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{x_1'}{r}=\frac{x_1'}{1}=x_1'$ bisa kita tulis $x_1'=\cos{(\alpha-\beta)}$
$\sin{(\alpha-\beta)}=\frac{y_1'}{r}=\frac{y_1'}{1}=y_1'$ bisa kita tulis $y_1'=\sin{(\alpha-\beta)}$
Setelah dirotasi, titik $B$ terletak di sumbu $x$ dengan koordinat $B'(1,0)$
Selanjutnya kita bagi mencari jarak antara titik $A'$ beserta titik $B'$
$\begin{align*}|A'B'|&=\sqrt{(1-x_1')^2+(0-y_1')^2}\\&=\sqrt{(1-\cos{(\alpha-\beta)})^2+(0-\sin{(\alpha-\beta)})^2}\\&=\sqrt{1-2\cos{(\alpha-\beta)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}+\sin^2{(\alpha-\beta)}}\\&=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}\end{align*}$
Kita sebut saja persamaan $|A'B'|=\sqrt{2-2\cos{(\alpha-\beta)}}$ sebagai persamaan (2)
Ukuran juring $AOB$ sebelum beserta setelah rotasi tidak berubah (rotasi tidak mengubah ukuran), maka $|A'B'|=|AB|$, dari persamaan (1) dan persamaan (2) kita peroleh:
$\begin{align*}|A'B'|&=|AB|\\ \sqrt{2-2\cos{\alpha-\beta}}&=\sqrt{2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})}\\ 2-2\cos{(\alpha-\beta)}&=2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\-2\cos{(\alpha-\beta)}&=-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$
Catatan: Jika anda membuka tulisan ini menggunakan smartphone, kemungkinan equation terpotong. Silakan posisikan layar semartphon anda dalam mode landscape maupun buka tulisan ini via PC/laptop.
Dari proses di atas, maka kita peroleh bahwa rumus cosinus selisih dua sudut yaitu $\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$
Untuk memperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, kita hanya perlu mensubstitusi $-\beta$ ke $\beta$ beserta perlu diingat bahwa $\cos{(-\beta)}=\cos{\beta}$ beserta $\sin{(-\beta)}=-\sin{\beta}$
$\begin{align*}\cos{(\alpha-(-\beta))}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)}\\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{align*}$
Contoh Penyelesaian Soal
Contoh 1
Tentukan nilai dari $\cos{15^\circ}$
Jawab:
$\begin{align*}\cos{15^\circ}&=\cos{(45^\circ-30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Contoh 2
Tentukan nilai dari $\cos{75^\circ}$
Jawab:
$\begin{align*}\cos{75^\circ}&=\cos{(45^\circ+30^\circ)}\\&=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\end{align*}$
Demikianlah materi yg bisa kami bagikan dengan tulisan sederhana ini, semoga memberikan ilmu baru bagi anda. Jika ada kekeliruan mohon koreksinya, silakan isi kolom komentar.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar