Materi tentang pangkat (eksponen) dengan akar sudah diperkenalkan sejak SMP, termasuk bagaimana cara merasionalkan bentuk bilangan pecahan dengan penyebut berbentuk akar. Namun sebagian besar referensi belajar yg digunakan di sekolah hanya sebatas merasionalkan bentuk akar kuadrat. Masih jarang buku yg membahas bagaimana cara merasionalkan bentuk akar pangkat tiga. Padahal, cara merasionalkan bentuk akar pangkat tiga sangat penting sebagai penunjang materi lainnya, misalnya dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar yg memuat akar pangkat tiga tanpa menggunkan dalil L'Hopital.
Kita sudah diperkenalkan cara merasionalkan bentuk pecahan dengan penyebut akar kuadrat adalah dengan mengalikan dengan bentuk sekawannya, misalnya $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ bisa kita rasionalkan dengan mengalikannya dengan $\displaystyle\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}$ karena bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt{5}-2$ adalah $\displaystyle \sqrt{5}+2$. Lalu bagaimana cara merasionalkan bentuk ini $\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}$?. Jika anda pikir cara merasionalkan bentuk tersebut adalah dengan mengalikannya dengan $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}$ maka anda keliru. Untuk bisa menyelesaikannya mari kita pahami terlebih demam awal mengenai definisi dari bentuk akar sekawan berikut.
Apa Definisi Dari Akar Sekawan?
Informasi:
Tulisan dengan laman ini memuat persamaan matematika yg cukup panjang dengan tidak responsive dengan media mobile, seumpama tampilan persamaan matematika di smartphone anda terpotong, silakan buka laman ini dalam mode landscape, Sangat disarankan membuka laman ini via PC/Laptop
Tulisan dengan laman ini memuat persamaan matematika yg cukup panjang dengan tidak responsive dengan media mobile, seumpama tampilan persamaan matematika di smartphone anda terpotong, silakan buka laman ini dalam mode landscape, Sangat disarankan membuka laman ini via PC/Laptop
Apa Definisi Dari Akar Sekawan?
Bersumber dari Ensiklopedia Matematika yg ditulis oleh ST. Nugroho dengan B. Harahap, definisi dari akar sekawan adalah sebagai berikut:
$\displaystyle\sqrt{a}+\sqrt{b}$ sekawan dengan $\displaystyle\sqrt{a}-\sqrt{b}$ sebab $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$
Perhatikan beberapa contoh akar sekawan berikut:
$2-\sqrt{3}$ sekawan dengan $2+\sqrt{3}$ sebab $\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1$
$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ sekawan dengan $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ sebab $\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)=5-2=3$
$\sqrt{8}$ sekawan dengan$\sqrt{2}$, sebab $\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$
demam
Bentuk Sekawan Akar Pangkat Tiga
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$, sebab:
$\begin{align*}\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{a^2}&=a^{\frac{1}{3}}\times a^{\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{3}{3}}\\&=a^1\\&=a\end{align*}$
Sekarang, bagaimana bentuk akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$?
Bentuk akar sekawan dari bentuk di atas pastinya harus menyebabkan "muncul" pangkat tiga dengan kedua suku bentuk akar di atas, bentuk aljabar sebagai landasan yg hendak kita gunakan adalah sebagai berikut:
$\begin{align*}x^3-y^3&=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\x^3+y^3&=(x+y)(x^2-xy+y^2)\end{align*}$
Contoh, akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}$ adalah $\displaystyle\left(\sqrt[3]{5}\right)^2+\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{2}+\left(\sqrt[3]{2}\right)^2$ maupun bisa juga ditulis $\displaystyle\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}$ sebab:
$\begin{align*}\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}\right)&=\left(\sqrt[3]{5}\right)^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3\\&=5-2\\&=3\end{align*}$
Berikut ini bentuk-bentuk akar sekawan akar pangkat tiga:
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a-\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a+\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle a^2-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}-b$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+b\sqrt[3]{a}+b^2$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}+b$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-b\sqrt[3]{a}+b^2$
Merasionalkan Penyebut Akar Pangkat Tiga
Setelah mengetahui bentuk sekawan akar pangkat tiga, sekarang kita hendak menggunakan bentuk sekawan tersebut untuk merasionalkan penyebut akar pangkat tiga, perhatikan beberapa contoh di bawah ini:
Contoh 1
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}$ adalah ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}$ adalah $\sqrt[3]{4}$
$\begin{align*}\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}&=\frac{9\sqrt[3]{4}}{2\times 2}\\&=\frac{9}{4}\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 2
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}$ adalah ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}$ adalah $\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}$ maka:
$\begin{align*}\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{7-2}\\&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{5}\\&=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 3
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}$ adalah ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}+1$ adalah $\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1$
$\begin{align*}\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}\times\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}&=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\right)}{2+1}\\&=\frac{\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{1}{3}\left(2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)\end{align*}$
demam
Contoh Penerapan dalam Menyelesaikan Masalah Limit
Berikut ini contoh soal limit yg melibatkan akar pangkat tiga,
$\displaystyle\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=$ ....
Jika kita substitusi langsung $x=8$, maka hendak kita peroleh bentuk tak tentu $\displaystyle\frac{0}{0}$, dengan demikin diperlukan manupulasi aljabar untuk menyelesaikannya dengan cara menghilangkan faktor persekutuan pembilang dengan penyebut yg menyebabkan nilai $\displaystyle\frac{0}{0}$.
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{x}-2$ adalah $\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4$, dan $\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)=x-8$ maka:
$\begin{align*}\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}\times\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}&=\lim_{x\to 8}\frac{(x-8)(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4)}{x-8}\\&=\lim_{x\to 8}\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\\&=\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4\\&=4+4+4\\&=12\end{align*}$
Demikianlah cara merasionalkan penyebut akar pangkat tiga yg bisa saya bahas.
Semoga bermanfaat
$\displaystyle\sqrt{a}+\sqrt{b}$ sekawan dengan $\displaystyle\sqrt{a}-\sqrt{b}$ sebab $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$
Perhatikan beberapa contoh akar sekawan berikut:
$2-\sqrt{3}$ sekawan dengan $2+\sqrt{3}$ sebab $\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1$
$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ sekawan dengan $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ sebab $\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)=5-2=3$
$\sqrt{8}$ sekawan dengan$\sqrt{2}$, sebab $\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$
demam
Bentuk Sekawan Akar Pangkat Tiga
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$, sebab:
$\begin{align*}\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{a^2}&=a^{\frac{1}{3}}\times a^{\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{3}{3}}\\&=a^1\\&=a\end{align*}$
Sekarang, bagaimana bentuk akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$?
Bentuk akar sekawan dari bentuk di atas pastinya harus menyebabkan "muncul" pangkat tiga dengan kedua suku bentuk akar di atas, bentuk aljabar sebagai landasan yg hendak kita gunakan adalah sebagai berikut:
$\begin{align*}x^3-y^3&=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\x^3+y^3&=(x+y)(x^2-xy+y^2)\end{align*}$
Contoh, akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}$ adalah $\displaystyle\left(\sqrt[3]{5}\right)^2+\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{2}+\left(\sqrt[3]{2}\right)^2$ maupun bisa juga ditulis $\displaystyle\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}$ sebab:
$\begin{align*}\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}\right)&=\left(\sqrt[3]{5}\right)^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3\\&=5-2\\&=3\end{align*}$
Berikut ini bentuk-bentuk akar sekawan akar pangkat tiga:
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a-\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a+\sqrt[3]{b}$ adalah $\displaystyle a^2-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}-b$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+b\sqrt[3]{a}+b^2$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}+b$ adalah $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-b\sqrt[3]{a}+b^2$
Merasionalkan Penyebut Akar Pangkat Tiga
Setelah mengetahui bentuk sekawan akar pangkat tiga, sekarang kita hendak menggunakan bentuk sekawan tersebut untuk merasionalkan penyebut akar pangkat tiga, perhatikan beberapa contoh di bawah ini:
Contoh 1
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}$ adalah ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}$ adalah $\sqrt[3]{4}$
$\begin{align*}\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}&=\frac{9\sqrt[3]{4}}{2\times 2}\\&=\frac{9}{4}\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 2
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}$ adalah ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}$ adalah $\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}$ maka:
$\begin{align*}\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{7-2}\\&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{5}\\&=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 3
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}$ adalah ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}+1$ adalah $\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1$
$\begin{align*}\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}\times\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}&=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\right)}{2+1}\\&=\frac{\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{1}{3}\left(2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)\end{align*}$
demam
Contoh Penerapan dalam Menyelesaikan Masalah Limit
Berikut ini contoh soal limit yg melibatkan akar pangkat tiga,
$\displaystyle\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=$ ....
Jika kita substitusi langsung $x=8$, maka hendak kita peroleh bentuk tak tentu $\displaystyle\frac{0}{0}$, dengan demikin diperlukan manupulasi aljabar untuk menyelesaikannya dengan cara menghilangkan faktor persekutuan pembilang dengan penyebut yg menyebabkan nilai $\displaystyle\frac{0}{0}$.
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{x}-2$ adalah $\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4$, dan $\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)=x-8$ maka:
$\begin{align*}\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}\times\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}&=\lim_{x\to 8}\frac{(x-8)(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4)}{x-8}\\&=\lim_{x\to 8}\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\\&=\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4\\&=4+4+4\\&=12\end{align*}$
Demikianlah cara merasionalkan penyebut akar pangkat tiga yg bisa saya bahas.
Semoga bermanfaat
Tidak ada komentar:
Posting Komentar