kemarau
kemarau
Diketahui $f(x)=|2x-1|$ bersama $g(x)=|6-x|$. Berapakan nilai $|f(2)-g(-4)|$?
Jawab:
$\begin{align*}\left | f(2)+g(3)\right |&=\left | |2(2)-1|-|6-(-4)| \right |\\&=\left | |3|-|10|\right |\\&=|3-10|\\&=|-7|\\&=-(-7)\\&=7\end{align*}$
Contoh 3:
Bentuk sederhana dari $\left |5-2x \right|+\left | x+4\right |-\left |x-2\right|$ untuk $x>10$ adalah ....
Jawab:
untuk $x>10$, $5-2x < 0$ maka $|5-2x|=-(5-2x)=2x-5$
untuk $x>10$, $x+4>0$ maka $|x+4|=x+4$
untuk $x>10$, $x-2>0$ maka $|x-2|=x-2$
sehingga:
$\begin{align*}|5-2x|+|x+4|-|x-2|&=2x-5+x+4-(x-2)\\&=2x-5+x+4-x+2\\&=2x+1\end{align*}$
Contoh 4:
Bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk $1 < x < 3$ adalah ....
Jawab:
untuk $1 < x < 3$, $x-1>0$ maka $|x-1|=x-1$
untuk $1 < x < 3$, $x+2>0$ maka $|x+2|=x+2$
untuk $1 < x < 3$, $9-3x>0$ maka $|9-3x|=9-3x$
sehingga:
$\begin{align*}|x-1|+|x+2|-|9-3x|&=x-1+x+2-(9-3x)\\&=x-1+x+2-9+3x\\&=5x-8\end{align*}$
kemarau
Contoh 5:
Himpinan penyelesaian persamaan $|x+2|^2-3|x+2|=4$ adalah ....
Jawab:
$\begin{align*}|x+2|^2-3|x+2|&=4\\|x+2|^2-3|x+2|-4&=0\end{align*}$
Misal: $|x+2|=p$, maka persamaan menjadi:
$\begin{align*}p^2-3p-4&=0\\(p-4)(p+1)&=0\\p=4\space\text{atau}\space p=-1\end{align*}$
$p=4\\|x+2|=4\\x=2\space\text{atau}\space x=-6$
$\begin{align*}p&=-1\\|x+2|&=-1\space\text{Tidak Memenuhi}\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{-6,2 \right\}$
Contoh 6:
Himpunan penyelesaian persamaan $|x-7|-|x-2|=3$ adalah ....
Jawab:
Pembuat nol nilai mutlak di atas adalah $x=2$ bersama $x=7$, dengan demikian untuk menyelesaikan soal tipe dia atas, bakal kita bagi ke dalam beberapa interval nilai $x$. Yaitu $x < 2$, $2 < x < 7$ bersama $x > 7$.
untuk $x < 2$
untuk $x < 2$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $x < 2$, $x-2 < 0$ maka $|x - 2|=-(x-2)=2-x$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(2-x)&=3\\7-x-2+x&=3\\5&=3\space \text{tidak memenuhi}\end{align*}$
untuk $2 < x < 7$
untuk $2 < x < 7$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $2 < x < 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2|=x-2$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(x-2)&=3\\7-x-x+2&=3\\-2x+9&=3\\2x&=6\\x&=3\text{ memenuhi}\end{align*}$
untuk $x \gt 7$
untuk $x\gt 7$, $x-7 > 0$ maka $|x-7|=x-7$
untuk $x\gt 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2||=x-2$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\x-7-(x-2)&=3\\x-7-x+2&=3\\-5&=3\text{ tidak memenuhi}\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{ 3 \}$
kemarau
Contoh 7:
Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x-2|=|6+2x|$ adalah ....
Jawab:
$\begin{align*}\left(|x-2|\right)^2&=\left(|6+2x|\right)^2\\\left(x-2\right)^2&=\left(6+2x\right)^2\leftarrow\text{sifat }|x|^2=x^2\\(x-2)^2-(6+2x)^2&=0\\ \left((x-2)+(6+2x)\right)\left((x-2)-(6+2x)\right)&=0\\(3x+4)(-x-8)&=0\\3x+4=0\space\text{atau}\space -x-8&=0\\x=-\frac{4}{3}\space\text{atau}\space x&=-8\end{align*}$
jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah $\left \{-8, -\frac{4}{3}\right \}$
Contoh 8:
Himpunan penyelesaian $|8-2x|+x-5=0$ adalah ....
Jawab:
$\begin{align*}|8-2x|+x-5&=0\\|8-2x|&=5-x\end{align*}$
Berbeda dengan contoh 7, persamaan $|8-2x|=5-x$ dengan ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, namun dengan melakukan analisis nilai $x$ bersama menggunakan definisi nilai mutlak.
pembuat nol nilai mutlak adalah $x=4$, maka bakal kita analisis persamaan untuk interval $x < 4$ bersama $x\gt 4$.
untuk $x\lt 4$
untuk $x\lt 4$, $8-2x \gt 0$ sehingga $|8-2x|=8-2x$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\8-2x&=5-x\\-x&=-3\\x&=3\end{align*}$
karena $x=3$ terletak dengan interval $x\lt 4$ maka $x=3$ merupakan penyelesaian.
untuk $x\gt 4$
untuk $x\gt 4$, $8-2x\lt 0$ sehingga $|8-2x|=-(8-2x)=2x-8$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\2x-8&=5-x\\3x&=13\\x&=\frac{13}{3}\end{align*}$
karena $x=\frac{13}{3}$ terletak dengan interval $x\gt 4$, maka $x=\frac{13}{3}$ merupakan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{3, \frac{13}{3} \right\} $
Setelah anda mempelajari beberapa contoh soal bersama pembahasan di atas, alangkah baiknya anda mencoba beberapa soal yg kami bagikan dengan link di bawah ini sebagai bahan latihan mandiri untuk mengasah pemahaman bersama keterampilan materi persamaan nilai mutlak:
Pada kesempatan ini, m4th-lab bakal membahas materi matematika wajib kelas X semester 1 (Kurikulum 2013 revisi) yaitu mengenai persamaan nilai mutlak. InsyaAlloh dengan tulisan ini bakal di bahas konsep dasar nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, bersama beberapa cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dilengkapi contoh soal beserta pembahasannya. Semoga tulisan ini beroleh membantu adik-adik yg sedang mempelajari nilai mutlak.
Konsep Dasar Nilai Mutlak
Nilai Mutlak Sebagai Jarak Pada Garis Bilangan
Nilai mutlak bilangan $x$ dinotasikan dengan $\left | x\right |$ (dibaca "nilai mutlak dari $x$") beroleh diartikan sebagai jarak suatu bilangan dari 0 dengan suatu garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Perhatikan contoh sederhana berikut:
Contoh:
$\left | x \right |=4$, berapa nilai $x$ yg memenuhi?
Jawab:
Persamaan nilai mutlak di atas beroleh diselesaikan dengan menggunakan konsep nilai mutlak sebagai jarak suatu bilangan terhadap nilai 0 dengan garis bilangan.
$\left | x\right |=4$ beroleh diartikan "berapa nilai $x$ yg memenuhi yg berjarak 4 dari 0 dengan garis bilangan?". Maka bakal kita peroleh dua nilai $x$, dari 0 ke arah kiri berjarak 4 bersama dari 0 ke kanan berjarak 4. lihat gambar berikut:
Dari gambar diatas, terlihat nilai yg berjarak 4 dari nol adalah $4$ bersama $-4$. Sehingga untuk persamaan $\left |x\right |=4$ nilai $x$ yg memenuhi adalah $x=4$ maupun $x=-4$.
Konsep tersebut beroleh kita perluas, sehingga beroleh kita gunakan untuk menyelesaikan nilai mutlak yg melibatkan bentuk aljabar. Dari konsep di atas, kita peroleh:
untuk $f(x)$ suatu bentuk aljabar, bersama $k$ bilangan real positif, berlaku:
$\left |f(x) \right |=k \Rightarrow f(x)=k\space\text{atau}\space f(x)=-k$
$\left |f(x) \right |=k \Rightarrow f(x)=k\space\text{atau}\space f(x)=-k$
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut:
$\left | 2x-1\right |=5 $
Jawab:
$\left | 2x-1\right |=5\\ \Leftrightarrow 2x-1=5\space\text{atau}\space 2x-1=-5\\ \Leftrightarrow 2x=6\space\text{atau}\space 2x=-4\\ \Leftrightarrow x=3\space\text{atau}\space x=-2$
Definisi Nilai Mutlak
Setelah memperhatikan konsep nilai mutlak sebagai jarak, beroleh kita ambil kesimpulan bahwa nilai mutlak menghasilkan nilai positif (ingat, jarak tidak mungkin negatif). Jadi $|x|$ andai $x$ positif, maka $|x|=x$ bersama andai $x$ negatif, maka $|x|=-x$, maupun definisi secara umum beroleh ditulis:
Nilai mutlak dari sembarang nilai $x\in$ bilangan real, yg dinotasikan $|x|$, didefinisikan sebagai:
$\left | x \right |=\begin{cases} x & \text{ andai } x\geq0 \\ -x & \text{ andai } x< 0 \end{cases}$
$\left | x \right |=\begin{cases} x & \text{ andai } x\geq0 \\ -x & \text{ andai } x< 0 \end{cases}$
untuk memahaminya, perhatikan beberapa contoh berikut:
$|0|=0$
$|9|=9$
$|-9|=-(-9)=9$
$|150|=150$
$|-150|=-(-150)=150$
$\left |\frac{-120}{3} \right |=|-40|=-(-40)=40$
Sifat-sifat Nilai Mutlak
Beberapa sifat nilai mutlak diantaranya:
- $\left | -x \right|=\left | x\right |$
- $\left | x \right | = \sqrt{x^2}$
- $\left |x \right |^2=\left | -x^2\right |=x^2$
- $\left |x-y \right |=\left | y-x\right |$
- $\left | xy \right |=\left | x\right | \left |y\right |$
- $\left |\frac{x}{y}\right |=\frac{|x|}{|y|}, y\ne 0$
- $\left |x+y\right|\leq |x|+|y|$
- $|x|-|y|\leq |x-y|$
kemarau
Contoh Soal bersama Pembahasan
Contoh 1 Tentukan nilai $\left | 3x-5 \right |$ untuk $x=3$ bersama untuk $x=-2$!
Jawab:
untuk $x=3$
$\begin{align*}\left |3x-5\right|&=\left |3\times (3)-5\right|\\&=\left|9-5\right|\\&=\left|4\right|\\&=4\end{align*}$
untuk $x=-2$
$\begin{align*} \left|3x-5 \right|&=\left|3\times (-2)-5 \right|\\&=\left|-6-5 \right|\\&=\left | -11\right|\\&=-(-11)\\&=11\end{align*}$
Contoh 2:
Diketahui $f(x)=|2x-1|$ bersama $g(x)=|6-x|$. Berapakan nilai $|f(2)-g(-4)|$?
Jawab:
$\begin{align*}\left | f(2)+g(3)\right |&=\left | |2(2)-1|-|6-(-4)| \right |\\&=\left | |3|-|10|\right |\\&=|3-10|\\&=|-7|\\&=-(-7)\\&=7\end{align*}$
Contoh 3:
Bentuk sederhana dari $\left |5-2x \right|+\left | x+4\right |-\left |x-2\right|$ untuk $x>10$ adalah ....
Jawab:
untuk $x>10$, $5-2x < 0$ maka $|5-2x|=-(5-2x)=2x-5$
untuk $x>10$, $x+4>0$ maka $|x+4|=x+4$
untuk $x>10$, $x-2>0$ maka $|x-2|=x-2$
sehingga:
$\begin{align*}|5-2x|+|x+4|-|x-2|&=2x-5+x+4-(x-2)\\&=2x-5+x+4-x+2\\&=2x+1\end{align*}$
Contoh 4:
Bentuk sederhana dari $|x-1|+|x+2|-|9-3x|$ untuk $1 < x < 3$ adalah ....
Jawab:
untuk $1 < x < 3$, $x-1>0$ maka $|x-1|=x-1$
untuk $1 < x < 3$, $x+2>0$ maka $|x+2|=x+2$
untuk $1 < x < 3$, $9-3x>0$ maka $|9-3x|=9-3x$
sehingga:
$\begin{align*}|x-1|+|x+2|-|9-3x|&=x-1+x+2-(9-3x)\\&=x-1+x+2-9+3x\\&=5x-8\end{align*}$
kemarau
Contoh 5:
Himpinan penyelesaian persamaan $|x+2|^2-3|x+2|=4$ adalah ....
Jawab:
$\begin{align*}|x+2|^2-3|x+2|&=4\\|x+2|^2-3|x+2|-4&=0\end{align*}$
Misal: $|x+2|=p$, maka persamaan menjadi:
$\begin{align*}p^2-3p-4&=0\\(p-4)(p+1)&=0\\p=4\space\text{atau}\space p=-1\end{align*}$
$p=4\\|x+2|=4\\x=2\space\text{atau}\space x=-6$
$\begin{align*}p&=-1\\|x+2|&=-1\space\text{Tidak Memenuhi}\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{-6,2 \right\}$
Contoh 6:
Himpunan penyelesaian persamaan $|x-7|-|x-2|=3$ adalah ....
Jawab:
Pembuat nol nilai mutlak di atas adalah $x=2$ bersama $x=7$, dengan demikian untuk menyelesaikan soal tipe dia atas, bakal kita bagi ke dalam beberapa interval nilai $x$. Yaitu $x < 2$, $2 < x < 7$ bersama $x > 7$.
untuk $x < 2$
untuk $x < 2$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $x < 2$, $x-2 < 0$ maka $|x - 2|=-(x-2)=2-x$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(2-x)&=3\\7-x-2+x&=3\\5&=3\space \text{tidak memenuhi}\end{align*}$
untuk $2 < x < 7$
untuk $2 < x < 7$, $x-7 < 0$ maka $|x-7|=-(x-7)=7-x$
untuk $2 < x < 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2|=x-2$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\7-x-(x-2)&=3\\7-x-x+2&=3\\-2x+9&=3\\2x&=6\\x&=3\text{ memenuhi}\end{align*}$
untuk $x \gt 7$
untuk $x\gt 7$, $x-7 > 0$ maka $|x-7|=x-7$
untuk $x\gt 7$, $x-2 > 0$ maka $|x-2||=x-2$
maka:
$\begin{align*}|x-7|-|x-2|&=3\\x-7-(x-2)&=3\\x-7-x+2&=3\\-5&=3\text{ tidak memenuhi}\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{ 3 \}$
kemarau
Contoh 7:
Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x-2|=|6+2x|$ adalah ....
Jawab:
Karena persamaan nilai mutlak bentuk $\left | f\left( x\right ) \right|=\left|g\left(x\right)\right|$ kedua ruas pasti bernilai positif, maka bentuk ini beroleh diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.
$\begin{align*}\left(|x-2|\right)^2&=\left(|6+2x|\right)^2\\\left(x-2\right)^2&=\left(6+2x\right)^2\leftarrow\text{sifat }|x|^2=x^2\\(x-2)^2-(6+2x)^2&=0\\ \left((x-2)+(6+2x)\right)\left((x-2)-(6+2x)\right)&=0\\(3x+4)(-x-8)&=0\\3x+4=0\space\text{atau}\space -x-8&=0\\x=-\frac{4}{3}\space\text{atau}\space x&=-8\end{align*}$
jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah $\left \{-8, -\frac{4}{3}\right \}$
Contoh 8:
Himpunan penyelesaian $|8-2x|+x-5=0$ adalah ....
Jawab:
$\begin{align*}|8-2x|+x-5&=0\\|8-2x|&=5-x\end{align*}$
Berbeda dengan contoh 7, persamaan $|8-2x|=5-x$ dengan ruas kanan belum tentu bernilai positif, sehingga jangan diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas, namun dengan melakukan analisis nilai $x$ bersama menggunakan definisi nilai mutlak.
pembuat nol nilai mutlak adalah $x=4$, maka bakal kita analisis persamaan untuk interval $x < 4$ bersama $x\gt 4$.
untuk $x\lt 4$
untuk $x\lt 4$, $8-2x \gt 0$ sehingga $|8-2x|=8-2x$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\8-2x&=5-x\\-x&=-3\\x&=3\end{align*}$
karena $x=3$ terletak dengan interval $x\lt 4$ maka $x=3$ merupakan penyelesaian.
untuk $x\gt 4$
untuk $x\gt 4$, $8-2x\lt 0$ sehingga $|8-2x|=-(8-2x)=2x-8$
$\begin{align*}|8-2x|&=5-x\\2x-8&=5-x\\3x&=13\\x&=\frac{13}{3}\end{align*}$
karena $x=\frac{13}{3}$ terletak dengan interval $x\gt 4$, maka $x=\frac{13}{3}$ merupakan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\left \{3, \frac{13}{3} \right\} $
Setelah anda mempelajari beberapa contoh soal bersama pembahasan di atas, alangkah baiknya anda mencoba beberapa soal yg kami bagikan dengan link di bawah ini sebagai bahan latihan mandiri untuk mengasah pemahaman bersama keterampilan materi persamaan nilai mutlak:
Demikianlah konsep dasar persamaan nilai mutlak beserta beberapa contoh soal bersama pembahasan dengan berbagai tipe soal (materi matematika wajib kelas 10), andai penjelasan di atas masih kurang dimengerti sebaiknya anda melihat pemaparan materi dalam bentuk video berikut ini. Pada video tersebut dijelaskan konsep dasar nilai mutlahk beserta 10 soal bersama pembahasan.
jangan lupa subscribe channel YouTube kami untuk video pembelajaran matematika gratis di https://yutube.com/m4thlab.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar