Sebelumnya, m4th-lab agak membahas konsep dasar turunan fungsi aljabar yg merupakan salah satu materi yg dipelajari dengan matematika wajib kelas XI. Pada kesempatan ini kita atas belajar turunan fungsi trigonometri yg dipelajari di kelas XII dengan matematika peminatan.
Rumus Dasar
Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri
1). $y=\sin{x}\rightarrow y'=\cos{x}$
2). $y=\cos{x}\rightarrow y'=-\sin{x}$
3). $y=\tan{x}\rightarrow y'=\sec^2{x}$
4). $y=\cot{x}\rightarrow y'=-\csc^2{x}$
5). $y=\sec{x}\rightarrow y'=\sec{x}\tan{x}$
6). $y=\csc{x}\rightarrow y'=-\csc{x}\cot{x}$
Perhatikan rumus-rumus di atas. Untuk mempermudah anda mengingat, setiap fungsi trigonometri yg diawali dengan huruf c turunannya bernilai negatif.
Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari $y=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}$.
Jawab:
Ingat kembali aturan penjumlahan bersama pengurangan dengan turunan fungsi aljabar yg agak kita pelajari bahwa asalkan $y=u\pm v$ maka $y'=u'\pm v'$
$\begin{align*}y&=4x^2+3\sin{x}-\cos{x}\\y'&=8x+3\cos{x}-(-\sin{x})\\&=8x+3\cos{x}+\sin{x}\end{align*}$
Selain rumus dasar di atas, perhatikan bersama pahami juga rumus turunan fungsi trigonometri yg lebih kompleks sebagai berikut.
Misal sudut dalam fungsi trigonometri adalah $u$, dengan $u$ suatu fungsi, maka:
1). $y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$
2). $y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$
3). $y=\tan{u}\rightarrow y'=u'.\sec^2{u}$
4). $y=\cot{u}\rightarrow y'=-u'.\csc^2{u}$
5). $y=\sec{u}\rightarrow y'=u'.\sec{u}\tan{u}$
6). $y=\csc{u}\rightarrow y'=-u'.\csc{u}\cot{u}$
Perhatikan bersama pahami rumus di atas. Sebenarnya asalkan anda sudah memahami rumus dasar maka rumus pengembangan di atas sangat bergolak suang untuk anda ingat. Yang perlu anda lakukan adalah mengalikan turunan fungsi trigonometri dengan turunan sudutnya (sudut berupa fungsi).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh di bawah ini:
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari $y=\sin{6x}$
Jawab:
Misal $6x=u$ maka $u'=6$
$y=\sin{u}\rightarrow y'=u'.\cos{u}$
$y=\sin{6x}\rightarrow y'=6\cos{6x}$
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari $y=\cos{(2x^2-6x+1)}$
Jawab:
Misal $2x^2-6x+1=u$ maka $u'=4x-6$
$y=\cos{u}\rightarrow y'=-u'.\sin{u}$
$y=\cos{(2x^2-6x+1)}$
$ y'=-(4x-6)\sin{(2x^2-6x+1)}$
Contoh 4
Tentukan turunan pertama dari $y=5\tan{(4x-2020)}$
Jawab:
Misal $4x-2020=u$ maka $u'=4$
$\begin{align*}y&=5\tan{(4x-2020)}\\y'&=5(4)\sec^2{(4x-2020)}\\&=20\sec^2{(4x-2020)}\end{align*}$
Contoh 5
Tentukan turunan pertama dari $y=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=5\sin{(3x+1)}-\frac{1}{2}\cos{(4x+3)}\\y'&=5(3)\cos{(3x+1)}-(-\frac{1}{2}(4)\sin{(4x+3)})\\&=15\cos{(3x+1)}+2\sin{(4x+3)}\end{align*}$
Contoh 6
Jika $f(x)=\cos{2x}-3\sin{2x}$, maka tentukanlah nilai dari $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$
Jawab:
$\begin{align*}f(x)&=\cos{2x}-3\sin{2x}\\f'(x)&=-2\sin{2x}-3(2)\cos{2x}\\&=-2\sin{2x}-6\cos{2x}\\f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-2\sin{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}-6\cos{2\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\&=-2\sin{\pi}-6\cos{\pi}\\&=-2(0)-6(-1)\\&=0+6\\&=6\end{align*}$
Turunan Bentuk $y=u.v$
Pada pembahasan limit fungsi aljabar kita sudah mengetahui bahwa turunan alias diferensial dari bentuk $y=u.v$ dengan $u$ bersama $v$ suatu fungsi adalah $y'=u'v+uv'$. Aturan tersebut berlaku juga untuk turunan fungsi trigonometri.
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut:
Contoh 7
Tentukan turunan pertama fungsi $y=x^2\sin{3x}$
Jawab
Kita buat pemisalan
$u=x^2\rightarrow u'=2x$
$v=\sin{3x}\rightarrow v'=3\cos{3x}$
$\begin{align*}y'&=u'v+uv'\\&=(2x)(\sin{3x})+(x^2)(3\cos{3x})\\&=2x\sin{3x}+3x^2\cos{3x}\end{align*}$
Turunan Bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$
Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar, untuk menentukan turunan fungsi trigonometri bentuk $\displaystyle y=\frac{u}{v}$ kita gunakan formula berikut:
$\displaystyle y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
Contoh 8
Jika $\displaystyle y=\frac{1+\cos{x}}{-\sin{x}}$, maka $\displaystyle\frac{dy}{dx}=$ ....
Jawab
Kita buat pemisalan
$u=1+\cos{x}\rightarrow u'=-\sin{x}$
$v=-\sin{x}\rightarrow v'=-\cos{x}$
$\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\frac{(-\sin{x})(-\sin{x})-(1+\cos{x})(-\cos{x})}{(-\sin{x})^2}\\&=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}}{\sin^2{x}}\\&=\frac{1+\cos{x}}{\sin^2{x}}\end{align*}$
Aturan Rantai
Jika fungsi trigonometri yg atas kita turunkan berbentuk $y=\sin^n{u}$ alias $y=\cos^n{u}$ alias $y=\tan^n{u}$ maka untuk menyelesaikannya kita gunakan aturan rantai (chain rule) sebagai berikut:
$\displaystyle y=f[g(x)]\rightarrow y'=f'[g(x)].g'(x)$
$\begin{align*}y&=\sin^n{u}\\y'&=n.\sin^{n-1}{u}.\cos{u}.u'\\&=n.u'.\sin^{n-1}.\cos{u}\end{align*}$
$\begin{align*}y&=\cos^n{u}\\y'&=n.\cos^{n-1}{u}.(-\sin{u}).u'\\&=-n.u'.\cos^{n-1}{u}.\sin{u}\end{align*}$
$\begin{align*}y&-=\tan^n{u}\\y'&=n.\tan^{n-1}{u}.\sec^2{u}.u'\\&=n.u'.\tan^{n-1}.\sec^2{u}\end{align*}$
untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut
Contoh 9
Tentukan turunan pertama dari $y=\sin^5{(2x+1)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=\sin^5{(2x+1)}\\y'&=5\sin^4{(2x+1)}.\cos{(2x+1)}.2\\&=10\sin^4{(2x+1)}\cos{(2x+1)}\end{align*}$
Contoh 10
Tentukan turunan pertama fungsi $y=2\cos^3{(1-2x)}$
Jawab:
$\begin{align*}y&=2\cos^3{(1-2x)}\\y'&=3.2\cos^2{(1-2x)}.(-\sin{(1-2x)}).(-2)\\&=12\cos^2{(1-2x)}.\sin{(1-2x)}\end{align*}$
Demikianlah pembahasan konsep matematika turunan fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar