Komposisi fungsi merupakan penggabungan dua alias lebih fungsi dengan aturan tertentu. Komposisi fungsi umumnya disimbolkan dengan simbol "$\circ$" yg dibaca : "bundaran". Prinsip komposisi fungsi bisa kita analogikan seperti beberapa mesin untuk memproduksi suatu produk. Misalnya mesin 1 mengolah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi kemudian bahan setengah jadi tersebut diolah oleh mesin 2 sehingga menjadi suatu produk. Dalam contoh tersebut, misalnya banyaknya bahan mentah adalah $x$ diolah oleh mesin 1 sehingga diperoleh bahan setengah jadi mengikuti fungsi $f$ lagi diperoleh bahan setengah jadi sebanyak $f(x)$. Bahan setengah jadi sebanyak $f(x)$ kemudian diolah oleh fungsi $g$ sehingga diperoleh suatu produk sebanyak $g(f(x))$. Notasi $g(f(x))$ inilah yg disebut sebagai komposisi fungsi, angsal pula dinyatakan dengan $(g\circ f)(x)$ dibaca: $g$ bundaran $f$. $(g \circ f)(x)$ merupakan komposisi fungsi $g$ terhadap $f$. Untuk lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini:
Syarat Komposisi Fungsi
Fungsi $f$ lagi fungsi $g$ angsal di komposisikan menjadi $(f\circ g)(x)$ seandainya memenuhi syarat: "irisan daerah hasil (range) fungsi $g$ (fungsi pertama) lagi daerah asal (domain) fungsi $f$ (fungsi kedua) tidak sama dengan himpunan kosong" alias angsal ditulis $R_g \cap D_f \ne \varnothing$. Dengan kata lain, komposisi dua buah fungsi hendak terdefinisi seandainya terdapat irisan antara daerah hasil fungsi pertama lagi daerah asal fungsi kedua.
Fungsi $f$ lagi fungsi $g$ angsal di komposisikan menjadi $(f\circ g)(x)$ seandainya memenuhi syarat: "irisan daerah hasil (range) fungsi $g$ (fungsi pertama) lagi daerah asal (domain) fungsi $f$ (fungsi kedua) tidak sama dengan himpunan kosong" alias angsal ditulis $R_g \cap D_f \ne \varnothing$. Dengan kata lain, komposisi dua buah fungsi hendak terdefinisi seandainya terdapat irisan antara daerah hasil fungsi pertama lagi daerah asal fungsi kedua.
Contoh:
Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut
Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut
$f:\{(1,5),(2,3),(3,4),(4,3)\}$
$g:\{(1,1),(2,3),(6,2)\}$
Selidikilah apakah $(f\circ g)(x)$ lagi $(g\circ f)(x)$ terdefinisi?
Jawab:
untuk menyelidiki apakah $(f\circ g)(x)$ terdefinisi alias tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $g$ lagi daerah asal dari $f$.
$R_g=\{1, 2, 3\}$
$D_f=\{1, 2, 3, 4\}$
$R_g\cap D_f =\{1, 2, 3\}$
Karena $R_g\cap D_f\ne \varnothing$, maka $(f\circ g)(x)$ terdefinisi
untuk menyelidiki apakah $(g\circ f)(x)$ terdefinisi alias tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $f$ lagi daerah asalh (domain) dari $g$
$R_f=\{3, 4, 5\}$
$D_g=\{1, 2, 6\}$
$R_f\cap D_g=\varnothing$
Karena $R_f\cap D_g=\varnothing$, maka$(g\circ f)(x)$ tidak terdefinisi
Sifat-sifat komposisi Fungsi
Diketahui $f$, $g$ lagi $h$ suatu fungsi lagi $I(x)=x$ suatu fungsi identitas. Jika $R_h\cap D_g\ne \varnothing$, $R_g\cap D_f\ne \varnothing$ lagi $R_I\cap D_f\ne \varnothing$ maka kepada operasi komposisi fungsi berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Tidak berlaku sifat komutatif
2. Berlaku sifat asosiatif
3. Berlaku sifat identitas
Beberapa Contoh Soal lagi Pembahasan Komposisi Fungsi
Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal komposisi fungsi dengan bentuk soal yg variatif terdiri dari soal harian (umum), soal ujian beringsang kebangsaan lagi soal SBMPTN (soal seleksi masuk PTN) lagi beberapa diantaranya masuk kategori soal HOTS (Higher Order Thinking Skills).
Contoh 1 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA)
Diketahui $f:R\to R$ lagi $g: R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2 -2x-3$ lagi $g(x)=x+6$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$ adalah ....
A. $(f\circ g)(x)=x^2-2x+3$
B. $(f\circ g)(x)=x^2-2x-9$
C. $(f\circ g)(x)=x^2+10x-21$
D. $(f\circ g)(x)=x^2+10x+21$
E. $(f\circ g)(x)=x^2-10x-21$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x+6)^2-2(x+6)-3\\&=x^2+12x+36-2x-12-3\\&=x^2+10x+21\end{align*}$
Contoh 2
Diketahui $f(x)=3x-1$ lagi $g(x)=2x^2-3$. Komposisi fungsi $(g\circ f)(x)$ adalah ....
A. $9x^2-3x+1$
B. $9x^2-6x+3$
C. $9x^2-6x+6$
D. $18x^2-12x-2$
E. $18x^2-12x-1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=2(3x-1)^2-3\\&=2(9x^2-6x+1)-3\\&=18x^2-12x+2-3\\&=18x^2-12x-1\end{align*}$
Contoh 3
Diketahui $(f\circ g)(x)=4x^2+20x+23$ lagi $g(x)=2x+5$. Rumus fungsi $f(x)$ adalah ....
A. $x^2-2$
B. $2x^2-1$
C. $\frac{1}{2}x^2-2$
D. $\frac{1}{2}x^2+2$
E. $\frac{1}{2}x^2-1$
Pembahasan:
Misal $2x+5=p$ maka $x=\frac{p-5}{2}$
$\begin{align*}(f\circ g)(x) &=4x^2+20x+23 \\ f(g(x))&=4x^2+20x+23 \\ f(2x+5)&=4x^2+20x+23 \\ f(p)&=4\left(\frac{p-5}{2}\right)^2+20\left(\frac{p-5}{2}\right) +23\\&=4\left(\frac{p^2-10p+25}{4}\right)+10(p-5)+23\\&=p^2-10p+25+10p-50+23\\&=p^2-2\end{align*}$
Jadi, $f(x)=x^2-2$
Contoh 4
Diketahui $(f\circ g)(x)=2x^2+4x+5$ lagi $f(x)=2x+3$, maka $g(x)=$ ....
A. $x^2+2x+1$
B. $x^2+2x+2$
C. $2x^2+x+2$
D. $2x^2+4x+2$
E. $2x^2+4x+1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=2x^2+4x+5\\ f(g(x))&=2x^2+4x+5\\2(g(x))+3&=2x^2+4x+5\\2(g(x))&=2x^2+4x+5-3\\2(g(x))&=2x^2+4x+2\\g(x)&=x^2+2x+1\end{align*}$
Contoh 5 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA)
Diketahui fungsi $f:R\to R$, lagi $g:R\to R$ dengan $g(x)=-x+3$ lagi $(f\circ g)(x)=4x^2-26x+32$, maka nilai $f(1)$ adalah ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $3$
E. $4$
Pembahasan:
Perhatikan bahwa $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$, untuk mencari nilai $f(1)$ kita perlu membuat $g(x)=1$.
$\begin{align*}g(x)&=-x+3\\1&=-x+3\\x&=3-1\\x&=2\end{align*}$
Jadi $g(2)=1$
$\begin{align*}f(g(x))&=4x^2-26x+32 \\ f(g(2))&=4(2)^2-26(2)+32\\f(1)&=4(4)-52+32\\&=16-20\\&=-4\end{align*}$
Contoh 6 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA - HOTS)
Untuk menambah uang saku, Didi berniat membantu kakaknya berjualan makanan. Didi hendak mendapatkan uang saku berdasarkan jumlah makanan yg terjual kepada hari tersebut dengan fungsi $P(x)=1.000x+200$, dengan $P$ adalah uang saku dalam rupiah lagi $x$ adalah jumlah makanan yg terjual. Ternyata, jumlah makanan yg terjual tergantung kepada waktu yg digunakan Didi untuk berjualan dengan $x=f(t)=3t+2$, dengan $t$ adalah waktu dalam jam. Uang saku yg diperoleh Didi seandainya ia berjualan selama 3 jam suatu hari libur adalah ....
A. Rp11.500,00
B. Rp11.200,00
C. Rp10.500,00
D. Rp10.200,00
E. Rp9.500,00
Pembahasan:
$\begin{align*}P(f(t)))&=1.000(3t+2)+200\\&=3.000t+2.000+200\\&=3.000t+2.200\end{align*}$
untuk $t=3$
$\begin{align*}P(f(3))&=3.000(3)+2.200\\&=9.000+2.200\\&=11.200\end{align*}$
Contoh 7 (SBMPTN 2020 Kode 317)
Perhatikan tabel berikut
Maka $(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)=$ ....
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $5$
Pembahasan:
Dari tabel kita peroleh:
$g(1)=0$, $f(0)=1$, $g(2)=1$, $f(1)=3$, lagi $g(3)=2$
Maka:
$\begin{align*}(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)&=f(g(1))+g(f(g(2)))\\&=f(0)+g(f(1))\\&=1+g(3)\\&=1+2\\&=3\end{align*}$
$g:\{(1,1),(2,3),(6,2)\}$
Selidikilah apakah $(f\circ g)(x)$ lagi $(g\circ f)(x)$ terdefinisi?
Jawab:
untuk menyelidiki apakah $(f\circ g)(x)$ terdefinisi alias tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $g$ lagi daerah asal dari $f$.
$R_g=\{1, 2, 3\}$
$D_f=\{1, 2, 3, 4\}$
$R_g\cap D_f =\{1, 2, 3\}$
Karena $R_g\cap D_f\ne \varnothing$, maka $(f\circ g)(x)$ terdefinisi
untuk menyelidiki apakah $(g\circ f)(x)$ terdefinisi alias tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $f$ lagi daerah asalh (domain) dari $g$
$R_f=\{3, 4, 5\}$
$D_g=\{1, 2, 6\}$
$R_f\cap D_g=\varnothing$
Karena $R_f\cap D_g=\varnothing$, maka$(g\circ f)(x)$ tidak terdefinisi
Sifat-sifat komposisi Fungsi
Diketahui $f$, $g$ lagi $h$ suatu fungsi lagi $I(x)=x$ suatu fungsi identitas. Jika $R_h\cap D_g\ne \varnothing$, $R_g\cap D_f\ne \varnothing$ lagi $R_I\cap D_f\ne \varnothing$ maka kepada operasi komposisi fungsi berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Tidak berlaku sifat komutatif
$g\circ f \ne f \circ g$
2. Berlaku sifat asosiatif
$f\circ (g\circ h)=(f \circ g)\circ h$
3. Berlaku sifat identitas
$f\circ I=I\circ f = f$
Beberapa Contoh Soal lagi Pembahasan Komposisi Fungsi
Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal komposisi fungsi dengan bentuk soal yg variatif terdiri dari soal harian (umum), soal ujian beringsang kebangsaan lagi soal SBMPTN (soal seleksi masuk PTN) lagi beberapa diantaranya masuk kategori soal HOTS (Higher Order Thinking Skills).
Contoh 1 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA)
Diketahui $f:R\to R$ lagi $g: R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2 -2x-3$ lagi $g(x)=x+6$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$ adalah ....
A. $(f\circ g)(x)=x^2-2x+3$
B. $(f\circ g)(x)=x^2-2x-9$
C. $(f\circ g)(x)=x^2+10x-21$
D. $(f\circ g)(x)=x^2+10x+21$
E. $(f\circ g)(x)=x^2-10x-21$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x+6)^2-2(x+6)-3\\&=x^2+12x+36-2x-12-3\\&=x^2+10x+21\end{align*}$
Contoh 2
Diketahui $f(x)=3x-1$ lagi $g(x)=2x^2-3$. Komposisi fungsi $(g\circ f)(x)$ adalah ....
A. $9x^2-3x+1$
B. $9x^2-6x+3$
C. $9x^2-6x+6$
D. $18x^2-12x-2$
E. $18x^2-12x-1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=2(3x-1)^2-3\\&=2(9x^2-6x+1)-3\\&=18x^2-12x+2-3\\&=18x^2-12x-1\end{align*}$
Contoh 3
Diketahui $(f\circ g)(x)=4x^2+20x+23$ lagi $g(x)=2x+5$. Rumus fungsi $f(x)$ adalah ....
A. $x^2-2$
B. $2x^2-1$
C. $\frac{1}{2}x^2-2$
D. $\frac{1}{2}x^2+2$
E. $\frac{1}{2}x^2-1$
Pembahasan:
Misal $2x+5=p$ maka $x=\frac{p-5}{2}$
$\begin{align*}(f\circ g)(x) &=4x^2+20x+23 \\ f(g(x))&=4x^2+20x+23 \\ f(2x+5)&=4x^2+20x+23 \\ f(p)&=4\left(\frac{p-5}{2}\right)^2+20\left(\frac{p-5}{2}\right) +23\\&=4\left(\frac{p^2-10p+25}{4}\right)+10(p-5)+23\\&=p^2-10p+25+10p-50+23\\&=p^2-2\end{align*}$
Jadi, $f(x)=x^2-2$
Contoh 4
Diketahui $(f\circ g)(x)=2x^2+4x+5$ lagi $f(x)=2x+3$, maka $g(x)=$ ....
A. $x^2+2x+1$
B. $x^2+2x+2$
C. $2x^2+x+2$
D. $2x^2+4x+2$
E. $2x^2+4x+1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=2x^2+4x+5\\ f(g(x))&=2x^2+4x+5\\2(g(x))+3&=2x^2+4x+5\\2(g(x))&=2x^2+4x+5-3\\2(g(x))&=2x^2+4x+2\\g(x)&=x^2+2x+1\end{align*}$
Contoh 5 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA)
Diketahui fungsi $f:R\to R$, lagi $g:R\to R$ dengan $g(x)=-x+3$ lagi $(f\circ g)(x)=4x^2-26x+32$, maka nilai $f(1)$ adalah ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $3$
E. $4$
Pembahasan:
Perhatikan bahwa $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$, untuk mencari nilai $f(1)$ kita perlu membuat $g(x)=1$.
$\begin{align*}g(x)&=-x+3\\1&=-x+3\\x&=3-1\\x&=2\end{align*}$
Jadi $g(2)=1$
$\begin{align*}f(g(x))&=4x^2-26x+32 \\ f(g(2))&=4(2)^2-26(2)+32\\f(1)&=4(4)-52+32\\&=16-20\\&=-4\end{align*}$
Contoh 6 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA - HOTS)
Untuk menambah uang saku, Didi berniat membantu kakaknya berjualan makanan. Didi hendak mendapatkan uang saku berdasarkan jumlah makanan yg terjual kepada hari tersebut dengan fungsi $P(x)=1.000x+200$, dengan $P$ adalah uang saku dalam rupiah lagi $x$ adalah jumlah makanan yg terjual. Ternyata, jumlah makanan yg terjual tergantung kepada waktu yg digunakan Didi untuk berjualan dengan $x=f(t)=3t+2$, dengan $t$ adalah waktu dalam jam. Uang saku yg diperoleh Didi seandainya ia berjualan selama 3 jam suatu hari libur adalah ....
A. Rp11.500,00
B. Rp11.200,00
C. Rp10.500,00
D. Rp10.200,00
E. Rp9.500,00
Pembahasan:
$\begin{align*}P(f(t)))&=1.000(3t+2)+200\\&=3.000t+2.000+200\\&=3.000t+2.200\end{align*}$
untuk $t=3$
$\begin{align*}P(f(3))&=3.000(3)+2.200\\&=9.000+2.200\\&=11.200\end{align*}$
Contoh 7 (SBMPTN 2020 Kode 317)
Perhatikan tabel berikut
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $5$
Pembahasan:
Dari tabel kita peroleh:
$g(1)=0$, $f(0)=1$, $g(2)=1$, $f(1)=3$, lagi $g(3)=2$
Maka:
$\begin{align*}(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)&=f(g(1))+g(f(g(2)))\\&=f(0)+g(f(1))\\&=1+g(3)\\&=1+2\\&=3\end{align*}$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar