Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional Ataupun Pertidaksamaan Pecahan (Matematika Wajib Kelas X)

berbahaya

Pertidaksamaan rasional adalah  pertidaksamaan yg berbentuk pecahan dengan pembilang bersama penyebut memuat variabel maupun hanya penyebutnya saja yg memuat variabel. Berikut ini beberapa contoh pertidaksamaan rasional.

$\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\geq 0$

$\displaystyle\frac{x^2-1}{x+7}\leq 5$

$\displaystyle\frac{5}{2x-1}\gt \frac{x+1}{x-5}$

Di atas, ada 3 contoh pertidaksamaan rasional maupun pertidaksamaan pecahan dengan bentuk yg berbeda. Namun, bagaimanapun bentuknya, pertidaksamaan rasional selalu bisa diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\lt 0$ maupun $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\gt 0$ maupun $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$

Dengan $f(x)$ sebagai fungsi pembilang bersama $g(x)$ sebagai fungsi penyebut bersama $g(x)\ne 0$.

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional?

---

Berikut ini beberapa langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional maupun pertidaksamaan pecahan:

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:

Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
 Jika fungsi pembilang maupun fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
 Cari titik kritis maupun pembuat nol fungsi pembilang bersama fungsi penyebut
 Gambar dengan garis bilangan
 Lakukan pengujian daerah yg dibatasi titik kritis dengan garis bilangan
 Tentukan himpunan penyelesaian

Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh bernilai nol, dengan demikian saat menggambar garis bilangan, titik kritis yg diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan dengan soal memuat tanda sama dengan ($\leq$ maupun $\geq$).

Contoh Soal bersama Penyelesaian

---

Untuk lebih memahami cara menyelesaiakan pertidaksamaan rasional, perhatikan contoh soal bersama pembahasan berikut ini.

Soal pertama yg bakal kita selesaiakan adalah pertidaksamaan rasional berikut:

$\displaystyle\frac{5x-20}{x-5}\leq 3$

Langkah pertama, kita perlu menjadikan ruas kanan dengan pertidaksamaan menjadi nol, yaitu dengan dengan mengurangi kedua ruas dengan $3$, kemudian sederhanakan bentuk dengan ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya

$\begin{align*}\frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 3-3\\ \frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 0 \\ \frac{5x-20}{x-5}-\frac{3(x-5)}{x-5}&\leq 0\\ \frac{5x-20-3x+15}{x-5}&\leq 0\\ \frac{2x-5}{x-5}&\leq 0\end{align*}$

Langkah kedua, kita tentukan titik kritis, yaitu pembuat nol dengan pembilang bersama penyebut.

Pembuat nol dengan pembilang adalah $\displaystyle 2x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$

Pembuat nol dengan penyebut adalah $\displaystyle x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Langkah ketiga, kita buat garis bilangan yg memuat beberapa daerah yg dibatasi oleh titik kritis yg kita peroleh dari langkah kedua, bersama perlu diingat dengan titik kritis yg diperoleh dari penyebut digambarkan dengan tanda bulatan kosong meskipun pertidaksamaan yg sedang kita selesaikan $\leq$.

Langkah keempat, tentukan tanda masing-masing daerah dengan garis bilangan dengan melakukan pengujian.

Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah, yaitu $x\leq\frac{5}{2}$ kita sebut saja "daerah kiri",  daerah $\frac{5}{2}\leq x \lt 5$ kita sebut sebagai "daerah tengah" bersama daerah $x\gt 5$ kita sebut sebagai "daerah kanan".

Pada masing-masing daerah tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk daerah kiri $(x\leq \frac{5}{2})$ saya ambil $x=0$, untuk daerah tengah $(\frac{5}{2}\leq x\lt 5)$ saya ambil $x=3$, bersama untuk daerah kanan $(x\gt 5)$ saya ambil $x=6$ sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional $\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}$ maka kita peroleh:

berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya berbahaya

Titik Uji	$2x-5$	$x-5$	$\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}$
$x=0$	$(-)$	$(-)$	$\frac{(-)}{(-)}=(+)$
$x=3$	$(+)$	$(-)$	$\frac{(+)}{(-)}=(-)$
$x=6$	$(+)$	$(+)$	$\frac{(+)}{(+)}=(+)$

Baca juga : Cara berbahaya limpah menentukan tanda $+$ bersama $-$ garis bilangan tanpa titik uji

kita peroleh

Langkah kelima, kita tentukan himpunan penyelesaian dengan kembali memperhatikan tanda pertidaksamaan bersama tanda dengan garis bilangan.

Pertidaksamaan $\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}\leq 0$ memiliki tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah yg bertanda negatif maupun atau nol $(\leq 0)$, yaitu daerah tengah dengan garis bilangan tadi.

maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle \frac{5x-20}{x-5}\leq 3$ adalah $\left\{x | \frac{5}{2}\leq x \lt 5, x\in R\right\}$

Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang bersama Penyebut

---

Berikutnya, kita bakal mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$$

Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:

$\begin{align*}\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 1-1\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-\frac{x^2-3x-10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3x-10}&\lt 0\end{align*}$

Berikutnya, kita faktorkan pembilang bersama penyebut sehingga kita peroleh

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)}{(x+2)(x-5)}\lt 0$

Seperti yg kita lihat, terdapat faktor persekutuan pada pembilang bersama penyebut, yaitu $(x-5)$, dengan pertidaksamaan rasional faktor persekutuan tidak boleh kita sederhanakan maupun bahkan kita hilangkan, hal yg umum dilakukan jikalau terdapat faktor persekutuan misalnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yg sudah jelas positif bersama tidak merubah tanda pertidaksamaan. Jadi, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)^2}{x+2}\lt 0$

titik kritis (pembuat nol) dari pembilang bersama penyebut yg kita peroleh adalah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ bersama $x=-2$, maka bisa kita buat garis bilangan sebagai berikut:

Dengan melakukan pengujian masing-masing daerah, kita peroleh tanda sebagai berikut:

tanda yg diminta dengan pertidaksamaan terakhir adalah $\lt 0$ maupun negatif, dipenuhi oleh daerah yg diarsir berikut:

maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$ adalah $\{x| x\lt -2\text{ maupun }-1\lt x \lt 0, x\in R\}$


Masalah Pertidaksamaan Rasional yg Memuat Fungsi Definit

---

Secara bahasa, definit artinya pasti. Dalam matematika terutama yg berkaitan dengan fungsi kuadrat dikenal dua definit yaitu definit positif dan definit negatif. Definit positif artinya fungsi tersebut selalu menghasilkan nilai positif untuk setiap $x$ anggota bilangan real, bersama definit negatif artinya fungsi selalu menghasilkan nilai negatif untuk setiap $x$ anggota bilangan real.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit positif jikalau $a\gt 0$ bersama $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu positif.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit negatif jikalau $a\lt 0$ bersama $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu negatif.

Perhatikan contoh pertidaksamaan rasional berikut:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ adalah ....

Penyelesaian:

$\begin{align*}\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}-1&\lt 0 \\ \frac{(2x^2+2x-4)-(x^2+4)}{(x^2+4)}&\lt 0\\ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4}&\lt 0\end{align*}$

Karena $x^2+4$ merupakan definit positif, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.

$\begin{align*}x^2+2x-8&\lt 0\\(x+4)(x-2)&\lt 0\end{align*}$

Titik kritisnya adalah $x=-4$ bersama $x=2$, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ adalah $\{x | -4\lt x\lt 2\}$

Jika anda sudah paham, silakan coba soal online pertidaksamaan rasional berikut sebagai bahan latihan. Semoga bermanfaat, demikianlah materi pertidaksamaan rasional kelas X matematika wajib.

Memahami Komposisi Fungsi - Matematika Wajib Kelas 10 Kurikulum 2013

Komposisi fungsi merupakan penggabungan dua alias lebih fungsi dengan aturan tertentu. Komposisi fungsi umumnya disimbolkan dengan simbol "$\circ$" yg dibaca : "bundaran". Prinsip komposisi fungsi bisa kita analogikan seperti beberapa mesin untuk memproduksi suatu produk. Misalnya mesin 1 mengolah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi kemudian bahan setengah jadi tersebut diolah oleh mesin 2 sehingga menjadi suatu produk. Dalam contoh tersebut, misalnya banyaknya bahan mentah adalah $x$ diolah oleh mesin 1 sehingga diperoleh bahan setengah jadi mengikuti fungsi $f$ lagi diperoleh bahan setengah jadi sebanyak $f(x)$. Bahan setengah jadi sebanyak $f(x)$ kemudian diolah oleh fungsi $g$ sehingga diperoleh suatu produk sebanyak $g(f(x))$. Notasi $g(f(x))$ inilah yg disebut sebagai komposisi fungsi, angsal pula dinyatakan dengan $(g\circ f)(x)$ dibaca: $g$ bundaran $f$. $(g \circ f)(x)$ merupakan komposisi fungsi $g$ terhadap $f$. Untuk lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini:

Syarat Komposisi Fungsi

Fungsi $f$ lagi fungsi $g$ angsal di komposisikan menjadi $(f\circ g)(x)$ seandainya memenuhi syarat: "irisan daerah hasil (range) fungsi $g$ (fungsi pertama) lagi daerah asal (domain) fungsi $f$ (fungsi kedua) tidak sama dengan himpunan kosong" alias angsal ditulis $R_g \cap D_f \ne \varnothing$. Dengan kata lain, komposisi dua buah fungsi hendak terdefinisi seandainya terdapat irisan antara daerah hasil fungsi pertama lagi daerah asal fungsi kedua.

Contoh:

Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut

$f:\{(1,5),(2,3),(3,4),(4,3)\}$
$g:\{(1,1),(2,3),(6,2)\}$

Selidikilah apakah $(f\circ g)(x)$ lagi $(g\circ f)(x)$ terdefinisi?

Jawab:

untuk menyelidiki apakah $(f\circ g)(x)$ terdefinisi alias tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $g$ lagi daerah asal dari $f$. 

$R_g=\{1, 2, 3\}$
$D_f=\{1, 2, 3, 4\}$
$R_g\cap D_f =\{1, 2, 3\}$

Karena $R_g\cap D_f\ne \varnothing$, maka $(f\circ g)(x)$ terdefinisi

untuk menyelidiki apakah $(g\circ f)(x)$ terdefinisi alias tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $f$ lagi daerah asalh (domain) dari $g$

$R_f=\{3, 4, 5\}$
$D_g=\{1, 2, 6\}$
$R_f\cap D_g=\varnothing$

Karena $R_f\cap D_g=\varnothing$, maka$(g\circ f)(x)$ tidak terdefinisi

Sifat-sifat komposisi Fungsi

Diketahui $f$, $g$ lagi $h$ suatu fungsi lagi $I(x)=x$ suatu fungsi identitas. Jika $R_h\cap D_g\ne \varnothing$, $R_g\cap D_f\ne \varnothing$ lagi $R_I\cap D_f\ne \varnothing$ maka kepada operasi komposisi fungsi berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Tidak berlaku sifat komutatif

$g\circ f \ne f \circ g$

2. Berlaku sifat asosiatif

$f\circ (g\circ h)=(f \circ g)\circ h$

3. Berlaku sifat identitas

$f\circ I=I\circ f = f$

Beberapa Contoh Soal lagi Pembahasan Komposisi Fungsi

Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal komposisi fungsi dengan bentuk soal yg variatif terdiri dari soal harian (umum), soal ujian beringsang kebangsaan lagi soal SBMPTN (soal seleksi masuk PTN) lagi beberapa diantaranya masuk kategori soal HOTS (Higher Order Thinking Skills). 


Contoh 1 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA)

Diketahui $f:R\to R$ lagi $g: R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2 -2x-3$ lagi $g(x)=x+6$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$ adalah ....
A. $(f\circ g)(x)=x^2-2x+3$
B. $(f\circ g)(x)=x^2-2x-9$
C. $(f\circ g)(x)=x^2+10x-21$
D. $(f\circ g)(x)=x^2+10x+21$
E. $(f\circ g)(x)=x^2-10x-21$

Pembahasan:

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x+6)^2-2(x+6)-3\\&=x^2+12x+36-2x-12-3\\&=x^2+10x+21\end{align*}$

Contoh 2 

Diketahui $f(x)=3x-1$ lagi $g(x)=2x^2-3$. Komposisi fungsi $(g\circ f)(x)$ adalah ....
A. $9x^2-3x+1$
B. $9x^2-6x+3$
C. $9x^2-6x+6$
D. $18x^2-12x-2$
E. $18x^2-12x-1$

Pembahasan:

$\begin{align*}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=2(3x-1)^2-3\\&=2(9x^2-6x+1)-3\\&=18x^2-12x+2-3\\&=18x^2-12x-1\end{align*}$

Contoh 3

Diketahui $(f\circ g)(x)=4x^2+20x+23$ lagi $g(x)=2x+5$. Rumus fungsi $f(x)$ adalah ....
A. $x^2-2$
B. $2x^2-1$
C. $\frac{1}{2}x^2-2$
D. $\frac{1}{2}x^2+2$
E. $\frac{1}{2}x^2-1$

Pembahasan:

Misal $2x+5=p$ maka $x=\frac{p-5}{2}$

$\begin{align*}(f\circ g)(x) &=4x^2+20x+23 \\ f(g(x))&=4x^2+20x+23 \\ f(2x+5)&=4x^2+20x+23 \\ f(p)&=4\left(\frac{p-5}{2}\right)^2+20\left(\frac{p-5}{2}\right) +23\\&=4\left(\frac{p^2-10p+25}{4}\right)+10(p-5)+23\\&=p^2-10p+25+10p-50+23\\&=p^2-2\end{align*}$

Jadi, $f(x)=x^2-2$


Contoh 4

Diketahui $(f\circ g)(x)=2x^2+4x+5$ lagi $f(x)=2x+3$, maka $g(x)=$ ....
A. $x^2+2x+1$
B. $x^2+2x+2$
C. $2x^2+x+2$
D. $2x^2+4x+2$
E. $2x^2+4x+1$

Pembahasan:

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=2x^2+4x+5\\ f(g(x))&=2x^2+4x+5\\2(g(x))+3&=2x^2+4x+5\\2(g(x))&=2x^2+4x+5-3\\2(g(x))&=2x^2+4x+2\\g(x)&=x^2+2x+1\end{align*}$

Contoh 5 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA)

Diketahui fungsi $f:R\to R$, lagi $g:R\to R$ dengan $g(x)=-x+3$ lagi $(f\circ g)(x)=4x^2-26x+32$, maka nilai $f(1)$ adalah ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $3$
E. $4$

Pembahasan:

Perhatikan bahwa $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$, untuk mencari nilai $f(1)$ kita perlu membuat $g(x)=1$. 

$\begin{align*}g(x)&=-x+3\\1&=-x+3\\x&=3-1\\x&=2\end{align*}$

Jadi $g(2)=1$

$\begin{align*}f(g(x))&=4x^2-26x+32 \\ f(g(2))&=4(2)^2-26(2)+32\\f(1)&=4(4)-52+32\\&=16-20\\&=-4\end{align*}$

Contoh 6 (Ujian Nasional 2020 Matematika IPA - HOTS)

Untuk menambah uang saku, Didi berniat membantu kakaknya berjualan makanan. Didi hendak mendapatkan uang saku berdasarkan jumlah makanan yg terjual kepada hari tersebut dengan fungsi $P(x)=1.000x+200$, dengan $P$ adalah uang saku dalam rupiah lagi $x$ adalah jumlah makanan yg terjual. Ternyata, jumlah makanan yg terjual tergantung kepada waktu yg digunakan Didi untuk berjualan dengan $x=f(t)=3t+2$, dengan $t$ adalah waktu dalam jam. Uang saku yg diperoleh Didi seandainya ia berjualan selama 3 jam suatu hari libur adalah ....
A. Rp11.500,00
B. Rp11.200,00
C. Rp10.500,00
D. Rp10.200,00
E. Rp9.500,00

Pembahasan:

$\begin{align*}P(f(t)))&=1.000(3t+2)+200\\&=3.000t+2.000+200\\&=3.000t+2.200\end{align*}$

untuk $t=3$

$\begin{align*}P(f(3))&=3.000(3)+2.200\\&=9.000+2.200\\&=11.200\end{align*}$


Contoh 7 (SBMPTN 2020 Kode 317)

Perhatikan tabel berikut

Maka $(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)=$ ....
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $5$

Pembahasan:

Dari tabel kita peroleh:
$g(1)=0$,  $f(0)=1$,  $g(2)=1$,  $f(1)=3$, lagi $g(3)=2$

Maka:
$\begin{align*}(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)&=f(g(1))+g(f(g(2)))\\&=f(0)+g(f(1))\\&=1+g(3)\\&=1+2\\&=3\end{align*}$